O CÁLCULO DO POTENCIAL ELÉTRICO DE UM CONDUTOR CARREGADO

FACULDADE DE CIÊNCIAS APLICADAS – UNICAMP

ENGENHARIAS DE MANUFATURA E PRODUÇÃO

FÍSICA III

CÁLCULO DO POTENCIAL ELÉTRICO DE UM CONDUTOR CARREGADO

NOME: Gabriel Passos                   RA: 172351

NOME: Mariana Dias Pennone       RA: 183717

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INTRODUÇÃO

        O potencial elétrico em um determinado ponto é a energia potencial que seria associada a uma unidade de carga nesse ponto. É por isso que o potencial é medido em joules por coulomb, ou volts. Não é necessário que exista uma carga em determinado ponto para que um V potencial exista nesse ponto.

        É possível calcular o potencial elétrico conhecendo-se o campo elétrico de uma região, através da relação:

.                                             (1)[pic 1]

        Superfície equipotencial é uma superfície sobre a qual o potencial elétrico V permanece constante em todos os seus pontos. As linhas de campo elétrico e as superfícies equipotenciais são sempre mutuamente perpendiculares.

        Caso o potencial seja conhecido, é possível calcular o campo elétrico da região, através da fórmula:

.                                                      (2)[pic 2]

        Em cada ponto, o gradiente de potencial aponta no sentido para o qual V cresce mais rapidamente com a variação da posição. Portanto, em cada ponto, a direção e o sentido de  correspondem à direção e ao sentido em que V decresce mais rapidamente.[pic 3]

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OBJETIVO

        Se considerarmos uma região com um ou mais condutores mantidos em potenciais fixos, é possível determinar o potencial em função da posição nessa região. Para isso, considera-se a propriedade que em uma região onde não existe nenhuma carga, o valor do potencial em um dado ponto é igual à média dos valores dos potenciais dos pontos de suas vizinhanças. Se for considerado que o potencial depende apenas das coordenadas x e y, é possível construir uma matriz de potenciais e realizar este cálculo através de iterações com os valores da própria matriz.

        Dessa forma, para um ponto qualquer do espaço V(x,y), teremos que o potencial neste ponto é dado por:

         (3)[pic 4]

        Consideraremos uma caixa condutora muito longa com seção reta quadrada. Como dado na proposta do trabalho, o potencial nas bordas dessa caixa é zero, e a mesma apresenta em seu interior pontos com um potencial fixo que formam um “L”, como mostra a Figura 1.

[pic 5]

Figura 1 - Dimensões da caixa e regiões de potencial fixo.

        O objetivo do projeto é calcular o potencial de cada ponto dentro da caixa e representar os resultados graficamente, bem como utilizar a definição (2) para calcular o campo elétrico da região.

CÁLCULO DO POTENCIAL E DO COMPO ELÉTRICO (MÉTODO NUMÉRICO)

        Para se observar o comportamento do potencial elétrico na caixa uma rotina foi desenvolvida onde uma matriz de pontos que subdivide essa região foi idealizada. Já para o cálculo do gradiente do potencial, uma segunda função foi implementada, ela calcula o menos gradiente () de uma matriz. O algoritmo foi executado no software MATLAB. Seguem as rotinas utilizadas:[pic 6]

Cálculo do potencial:

%DEFINIÇÃO DOS PARÂMETROS DO CONDUTOR.

u = 4; %Valor da unidade.

m = 30*u; %Define a altura do condutor como função de u.

n = 30*u; %Define a largura do condutor como função de u.

RA1 = 7; %Define o RA1.

RA2 = 1; %Define o RA2.

 

%CRITÉRIOS DE PARADA.

%Os cálculos são finalizados quando o máximo de iterações é atingido

%ou quando calculos consecutivos alcançam os mesmos resultados.

itmax = 80000; %Número máximo de iterações.

 

V = zeros(m+2,n+2); %Declaração da matriz que armazena os potenciais.

 

%Declaração do tamanho das matrizes auxiliares utilizadas para o cálculo da média dos vizinhos.

%SUP -> Translada os elementos de V uma linha para baixo(soma o vizinho superior)

%INF -> Translada os elementos de V uma linha para cima(soma o vizinho inferior)

%DIR -> Translada os elementos de V uma coluna para esquerda(soma o vizinho direito)

%ESQ -> Translada os elementos de V uma coluna para direita(soma o vizinho esquerdo)

SUP = V; INF = V; DIR = V; ESQ = V;

 

%DEFINIÇÃO DOS PONTOS FIXOS

%Definição dos índices da matriz V que armazenam potencial 0V (constante) das bordas.

borda = [[1:m,m*ones(1,n-2),ones(1,n-2),1:m];[ones(1,m),2:(n-1),2:(n-1),n*ones(1,m)]]';

%Translação dos pontos para adequação ao algorítmo(Soma 1 em cada índice).

borda = borda + 1;

 

%Definição dos índices que armazenam potencial 10V (constante) do L.

L = [(m/3+1):(m/3+RA1*u),(10*u+1)*ones(1,RA2*u);10*u*ones(1,RA1*u),(10*u+1):((RA2+10)*u)]';

%Translação dos pontos para adequação ao algorítmo(Soma 1 em cada índice).

L = L + 1;

 

%Concatenação dos pontos de potencial constante.

pontosVconst = [borda;L];

 

Vconst = [0*borda(:,1); 0*L(:,1)+10]; %Define potencial 0 para as bordas e potencial 10 para o L.

pontos = sub2ind([m+2 n+2], pontosVconst(:,1), pontosVconst(:,2)); %Define o elemento da matriz que é constante.

V(pontos) = Vconst; %Define o potencial de cada ponto constante na matriz V.

 

%A variável V_ant armazena a matriz V calculada na iteração anterior para comparação.

V_ant = V;

 

bar = waitbar(0,'Computando'); %Mostra barra de progresso.

 

%INÍCIO DOS CÁLCULOS

for k = 1:itmax %CRITÉRIO DE PARADA(Número máximo de iterações)

   

    %DEFINIÇÃO DAS MATRIZES UTILIZADAS NO CÁLCULO DA MÉDIA.

    s = V(2:m+1,2:n+1); %Seleciona a parte central de V.