Conceito de Velocidade Instantânea

1° Passo:

Conceito de Velocidade Instantânea

a. Segundo Halliday, Resnick e Walker

A velocidade em qualquer instante de tempo é obtida a partir da velocidade média reduzido-se o intervalo de tempo ∆t, fazendo-o tender a zero. À medida que ∆t é reduzido, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é a velocidade naquele instante.

V = limΔt→0 ΔxΔt= dxdt

b. Segundo Hughes-Hallett, Gleason, McCallum

A velocidade instantânea de um objeto em um instante t=a é dada pelo limite da velocidade média em um intervalo quando este intervalo diminui em torno de a.

Seja s(t) a posição no instante t. Então, a velocidade instantânea em t=a é definida como:

V = limh→0 sa+h-s(a) h

A velocidade instantânea nada mais é que a velocidade em determinado instante de tempo (t) pode obter a velocidade instantânea a partir da velocidade média reduzido o intervalo de tempo ∆t, fazendo tender a zero.

À medida que ∆t é reduzido à velocidade média se aproxima de um valor limite, que é a velocidade instantânea.

Exemplo: Soma dos últimos algarismos dos RAs dos alunos do grupo

2 + 9 + 6 + 1 = 18

s(t) = 9t2 + 4t + 10

s'(t) = v(t) = 18t + 4

s''(t) = a(t) = 18 m/s2

2º Passo:

a. Gráfico representando espaço x tempo.

Esta etapa consiste em substituir os valores de t na fórmula e encontrar valores de t(0), t(1), t(2), t(3), t(4) e t(5), encontrados os valores, iremos montar um gráfico de espaço em função do tempo e ver que tipo de formato ele terá.

Relação Espaço X Tempo |

9t2 + 4t + 10 |

t ( s ) | s ( m ) |

0 | 10 |

1 | 23 |

2 | 54 |

3 | 103 |

4 | 170 |

5 | 255 |

Percebemos que este gráfico formou uma parábola, o que significa que a velocidade variou a medida que o tempo passou.

b. Gráfico representando velocidade x tempo.

Nesta etapa usaremos a primeira derivada da função proposta e encontraremos a velocidade correspondente aos tempos t(0), t(1), t(2), t(3), t(4) e t(5).

Relação Velocidade X Tempo |

18t + 4 |

t ( s ) | v ( m / s ) |

0 | 4 |

1 | 22 |

2 | 40 |

3 | 58 |

4 | 76 |

5 | 94 |

Cálculo da área do trapézio do gráfico acima:

* Atrapézio = (B + b) 2 * h

* Atrapézio = (94 + 4) 2 * 5

* Atrapézio = 245 m2

3º Passo:

Esta função s(t) nos mostra a aceleração, velocidade e espaço; a primeira derivada desta função nos mostrará a aceleração e a velocidade, e após aplicarmos a segunda derivada desta função teremos à aceleração conforme demonstrado abaixo; e que é o tema proposto neste 3° passo.

s(t) = 9t2 + 4t + 10

s'(t) = v(t) = 18t + 4

s''(t) = a(t) = 18 m/s2

a. Gráfico representando aceleração

Velocidade |

18 |

t ( s ) | v ( m / s ) |

t ( 0 ) | 18 |

t ( 1 ) | 18 |

t ( 2 ) | 18 |

t ( 3 ) | 18 |

t ( 4 ) | 18 |

t ( 5 ) | 18 |

Cálculo da área do gráfico da aceleração X Tempo da página anterior:

A = b * h

A = 5 * 18

A = 90 m2

Relatório

Podemos notar que nos gráficos (espaço x tempo) e (velocidade x tempo) o espaço e a velocidade variam ao passar do tempo, essa variação pode ser Progressiva quando a velocidade aumenta proporcionalmente conforme o tempo passa, ou Retardado quando a velocidade diminui ao passar do tempo, no caso das funções sugeridas por nós, os movimentos foram Progressivos e os gráficos formaram um trapézio, já no gráfico da (aceleração x tempo) à aceleração foi sempre constante independente do tempo, pois em todos os instantes a aceleração na variou e este gráfico formou um retângulo.

Podemos afirmar então que os movimentos dos três gráficos apresentados nesta ATPS realizam um Movimento Retilíneo Uniforme (MRU), pois temos aceleração constante e variação da velocidade.

Quando ocorre o contrário e um corpo sofre variação de aceleração ou sofre a ação da gravidade ele realiza um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV), movimento esse que não é realizado nos gráficos expostos na etapa 1.

Etapa