Cálculo IV - Campos Vetoriais

CAMPOS VETORIAIS

Dada uma região D do espaço, podemos associar a cada ponto de D uma grandeza vetorial. Por exemplo, num fluido em movimento, a cada partícula corresponde um vetor velocidade [pic 1], neste caso um campo vetorial está definido.

Seja uma região D do espaço e [pic 2]uma função vetorial definida em D. Então a cada ponto [pic 3][pic 4]associa um único vetor [pic 5]A região D juntamente com os correspondentes vetores [pic 6]constitui um campo vetorial.

Exemplo1:

Determine quatro elementos do campo vetorial definido por:

a) [pic 7]

b) [pic 8]

c) [pic 9]

d) [pic 10]

e) [pic 11]

O TRABALHO

Imaginemos uma força constante F atuando sobre um objeto com a intenção de deslocá-lo em linha reta de um ponto A até um ponto B. O comprimento do deslocamento é a distância do ponto A ao ponto B que também é o módulo do vetor  d = [pic 12] 

[pic 13]

        Da física sabemos que o trabalho realizado por essa força para  efetuar esse  deslocamento é W=|F| |d| cos[pic 14] onde F é o vetor força, d é o vetor deslocamento e [pic 15] é a medida do ângulo entre esses vetores. Lembramos da Geometria Analítica a propriedade do produto escalar de vetores, que afirma  v . w = | v | | w| cos[pic 16]  sendo [pic 17] a medida do ângulo entre os vetores  v e w.  Assim, o trabalho realizado por uma força constante F, para efetuar um deslocamento em linha reta  d,  é dado por

[pic 18]

Como seria feito esse cálculo se o campo de forças não fosse constante e o caminho a percorrer não fosse reto?

Adiantamos que o trabalho realizado por uma força[pic 19], variável, para deslocar uma partícula ao longo de uma curva lisa C dada por [pic 20] ou [pic 21] desde um ponto inicial A até um ponto final B é dado por

[pic 22]

Iniciaremos a pensar no cálculo do Trabalho, aproximando o caminho por uma poligonal.

Consideremos um campo de forças dado pela função vetorial [pic 23]contínua em uma região D no espaço 2D ou no espaço 3D. Seja C uma curva suave ou parcialmente suave contida em D e parametrizada dada pela função vetorial [pic 24]definida no intervalo [a, b].

        Uma partícula move-se ao longo da curva C do ponto A até o ponto B. Se realizarmos uma partição do intervalo [a, b] em “n” subintervalos, teremos como conseqüência uma partição na curva C. Então [pic 25]=[pic 26]  e  [pic 27]=[pic 28]. Desse modo serão introduzidos n-1 pontos “P”, na curva C entre os pontos  A e B e obtemos uma partição,  A = P0, P1, P2, ... ,Pn-1 , Pn = B, da curva   C, que a divide em n arcos .

Vamos então definir n vetores [pic 29]  e considerar [pic 30] o valor da força [pic 31] em [pic 32].

Assim teremos

[pic 33][pic 34]

        

Se o k-ésimo arco  for suficientemente pequeno, a força do campo [pic 35] varia muito pouco nos pontos deste arco e podemos considerá-la constante e aproximadamente igual a  [pic 36]= [pic 37].

Assim, podemos ter que [pic 38] e com exatidão [pic 39]

[pic 40]

OBS: Podemos encontrar valores positivos, nulo ou negativos para o trabalho W conforme o ângulo entre os vetores  [pic 41]  e  [pic 42]seja agudo,  reto ou obtuso nos pontos de C. 

Exemplo2:Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial  [pic 43][pic 44]para mover uma partícula ao longo da curva de equação  y = 1/x do ponto A(1, 1) ao ponto B(2, ½) .

Essa integral indicada acima é também chamada de Integral de Linha (de Campo Vetorial) e apresenta diversas aplicações na Física e na Engenharia.

INTEGRAIS  DE LINHA DE CAMPO VETORIAL (Outra forma de apresentação)

Considere o campo vetorial dado pela função vetorial

 F(x, y) = ( M(x, y), N(x, y) )

ou

F(x, y, z) = ( M(x, y, z), N(x, y, z), P(x, y, z) )

contínua em uma região D do espaço 2D ou 3D, respectivamente.

        Sabemos que M, N  e P são funções escalares de duas ou três variáveis, contínuas em D, das quais podemos calcular integrais de linha em relação à x, y  ou  z  ao longo de uma curva limitada C, suave ou parcialmente suave e parametrizada pela função vetorial dada por

r(t) = ( x(t), y(t) ) ou  r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) com t[pic 45][a, b].

Analisemos as integrais: [pic 46] que escrevemos simplesmente

[pic 47].

[pic 48]=[pic 49][pic 50] =  

=[pic 51]=[pic 52] =

= [pic 53]( M(r(t)), N(r(t))) . r´ (t)dt = [pic 54]F (r (t) ) . r´ (t)dt =  [pic 55]F . dr[pic 56]

pois, de   r(t) = ( x(t), y(t) )   vem que     [pic 57]r = r´ (t) =  ( x’(t), y’(t) ),    de onde

dr = r´ (t) dt =  ( x’ (t), y’ (t) ) dt =   ( x’(t) dt, y’(t) dt ) = (dx, dy).

        Assim,

[pic 58]

        

Analogamente,  de   r(t) = (x(t), y(t), z(t))   temos  [pic 59]r = r´ (t) =  ( x’(t), y’(t), z’(t) ),   de onde   dr=r´(t)dt= ( x’(t), y’(t), z’(t) ) dt = ( x’ (t) dt, y’ (t) dt, z’(t) dt ) = (dx, dy, dz).  Também,