A Lista de Exercícios - Campos Vetoriais
Por: Professor Pedrao • 28/2/2020 • Trabalho acadêmico • 2.205 Palavras (9 Páginas) • 285 Visualizações
- EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA
- Equação de Variáveis Separáveis
É da forma [pic 4] onde[pic 5]. A solução é da forma [pic 6].
- Resolva a equação diferencial:
- [pic 7]
- [pic 8]
- [pic 9]
- [pic 10]
- [pic 11]
- [pic 12] [pic 13]
- [pic 14]
- Equação Linear de Primeira Ordem
É da forma [pic 15]. A solução é dada por [pic 16], onde [pic 17] e [pic 18], portanto [pic 19].
- Resolva a equação diferencial:
- [pic 20]
- [pic 21]
- [pic 22]
- [pic 23]
- [pic 24]
- [pic 25]
- [pic 26]
- [pic 27]
- [pic 28]
- [pic 29]
- [pic 30]
- São dadas as seguintes informações: [pic 31]
Onde w e v são as variáveis dependentes (de y) e y é a variável independente, K e [pic 32]são constantes. Pede-se, sem resolver a equação:
- Explicar os passos para se resolver a segunda equação e obter v=v(y)
- Se [pic 33] explique, a partir do item a) e sem resolver a equação como se obtém a função w=w(y).
- Equação Homogênea Exata
É da forma [pic 34]. É classificada como Equação Exata, se e somente se, [pic 35]e neste caso podemos afirmar que existe função potencial [pic 36] que representa a solução desta equação e satisfaz a relação [pic 37], portanto[pic 38].
4) Resolva a equação diferencial:
a) [pic 39]
b) [pic 40]
c) [pic 41]
d) [pic 42]
e) [pic 43]
f) [pic 44]
g) [pic 45]
h) [pic 46]
- Equação Homogênea Não Exata
É da forma [pic 47]. É classificada como Equação Não Exata, se e somente se, [pic 48]e neste caso usaremos o método do fator integrante para transforma-la em uma Equação Exata e neste caso podemos afirmar que existe função potencial [pic 49] que representa a solução desta equação e satisfaz a relação [pic 50], portanto[pic 51].
- Resolva a equação diferencial:
- [pic 52]
- [pic 53]
- [pic 54]
- [pic 55]
- [pic 56]
- [pic 57]
6) Resolver a equação Diferencial [pic 58] considerando[pic 59].
7) Dada a equação [pic 60]
a) Determine as constantes a e b para que seja diferencial exata.
b) Obtenha a solução com a condição y(1)=0.
8) Determinar a função g(y) tal que sejam satisfeitas as duas condições a seguir:
[pic 61]
- CAMPOS VETORIAIS
- Dado o campo vetorial [pic 62] calcule a integral de linha entre os pontos A=(0,0) e B=(2,8) sobre os caminhos:
- A reta que liga estes pontos;
- A parábola [pic 63].
Verificando que a integral de linha, de forma geral, depende do caminho. Resp: a) 512 b) [pic 64]
- Dado o campo vetorial [pic 65]calcule[pic 66]onde C consiste nos segmentos de reta de (1,0,1) a (2,3,1) e de (2,3,1) a (2,5,2).
Resp: [pic 67][pic 68]
- Considere a trajetória fechada C formada pelos lados do triângulo ABC mostrado abaixo, calcule [pic 69]onde [pic 70]
Resp: [pic 71]
- Calcule a integral de [pic 72] sobre a curva [pic 73] com [pic 74]. Resp: [pic 75]
- É dado o Campo Vetorial [pic 76]
- Determinar os valores das constantes a e b tais que este campo seja conservativo.
- Determinar, a partir dos valores a e b acima determinados, a função potencial.
- A partir dos valores a e b determinados no item a determinar a integral de linha de [pic 77] através do segmento de reta que une os pontos (0,0) ao ponto [pic 78].
- Determinar a integral de linha ao longo da fronteira de equações [pic 79].
- Seja [pic 80]. Pede-se:
- Determinar o campo vetorial [pic 81] que tenha por função potencial a função [pic 82].
- Determinar a Integral de Linha de [pic 83] ao longo da parábola [pic 84] do ponto (0,1) a (-1,0).
- Determinar a Integral de Linha de [pic 85] ao longo do triangulo de vértices (0,1), (-1,0) e (1,4).
- Seja[pic 86], com[pic 87] e [pic 88], um campo vetorial e [pic 89] a curva fronteira da região K, no plano Oxy, orientada no sentido anti-horário.
- Dado o Campo Vetorial [pic 90]
- Determinar os valores das constantes a e b tais que este campo seja conservativo.
- Determinar, a partir dos valores a e b acima determinados, encontre a função potencial [pic 91] do campo [pic 92]
- Com os valores de a e b determinados no item (a), determine a integral de linha de [pic 93] através do segmento que une o ponto (0,0) ao ponto (0,2).
- Calcular a integral de linha de campo [pic 94] ao longo do trecho OAB, onde o trecho AO é descrito pela parábola [pic 95] e o trecho AB é descrito pelo segmento de reta que une o ponto (1,1) ao ponto (2,2).
- Calcule [pic 96],onde C é triangulo com vértices (0,0) (1,0) (1,2).
- É dado o Campo Vetorial [pic 97]
- Determinar os valores das constantes a e b tais que este campo seja conservativo.
- Determinar, a partir dos valores a e b acima determinados, a função potencial.
- A partir dos valores a e b determinados no item a determinar a integral de linha de [pic 98] através do segmento de reta que une os pontos [pic 99]ao ponto[pic 100].
- Determinar a integral de linha ao longo da fronteira de equações [pic 101].
- Calcular a integral de linha de campo [pic 102] sobre [pic 103].
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