Determinação dos valores máximos e mínimos relativos da função

Objetivos: Determinar os valores de máximos ou mínimos de funções f(x) através da derivação, como podemos averiguar a seguir que a derivação é uma ferramenta poderosa na solução de problemas nas áreas de Engenharia, Física, Biologia, Geometria e Economia.

Introdução Teórica: Determinação de Valores de Máximos e Mínimos Relativos

Seja dada uma determinada função y = f (x) conforme ilustração abaixo:

Os valores críticos são os valores de (x) para os quais y’ = 0 ou para os quais a y’ não está definida, os pontos B,C,D,F e H são os pontos críticos da curva e as abscissas são valores críticos para a função, ou seja, x = b, x = c, x = d, x = f e x = h.

Como podemos observar que os pontos C e F são pontos de Máximo Relativo e D e H são pontos de Mínimo Relativo, entretanto o ponto B é um ponto crítico porem não é Máximo e nem Mínimo Relativo.

Método da Primeira Derivada:

a) Achar a primeira derivada f’(x) e os valores críticos.

b) Fazer (x) crescer passando pelo valor crítico.

f(x)  Valor Máximo [= f(x0)] se f’(x)  + p/ - ;

f(x)  Valor Mínimo [= f(x0)] se f’(x)  - p/ + ;

f(x) ñ passa p/ Valor Máximo nem Mínimo se f’(x) não trocar de sinal.

Método da Segunda Derivada:

a) Achar a primeira derivada f’(x) e os valores críticos.

b) Achar a segunda derivada f”(x).

c) Para um valor crítico x = x0;

f(x) Valor Máximo [ = f(x0) ] se f”(x0) < 0;

f(x)  Valor Mínimo [ = f(x0) ] se f”(x0) > 0;

O teste falha se f”(x) = 0 em x = x0 ou se torna infinita.

Exemplo Teórico : Dada a função f(x) = 1/12(x4 + 6x3 - 18 x2), determinar os pontos máximos e mínimos relativos da função.

Solução:

Fazer a primeira derivada de f(x), ou seja:

f’(x) = 1/12(4x3 + 18x2 – 36x)

= 1/6x(2x2 + 9x – 18)

= 1/6x(2x – 3)(x + 6)

Fazer f’(x) = 0 ( determinar os pontos críticos)

X=0

X = 3/2

X = -6

Fazer a segunda derivada de f’(x), ou seja:

f”(x) = 1/12(12x2 + 36x -36)

= x2 + 3x – 3

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f”(-6)