Diagrama De Fluxo De Dados

Relação entre integral definida e indefinida[editar | editar código-fonte]

A integral definida {\int_{a}^{b}} {f(x)} dx é um número; não depende da variável x. A integral indefinida, ao contrário, é uma função ou família de funções. A conexão entre elas é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Se {f} for contínua em [a,b], então [7] .

{\int_{a}^{b}} {f(x)} dx = \int {f(x)} dx |_a^b

Ou seja, a integral indefinida, calculada no intervalo [a,b], resulta no valor da integral definida.

Teorema fundamental do Cálculo[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Teorema fundamental do cálculo

Caso se resolva a integral acima entre os limites a e b, o resultado final pode ser escrito como:

S = \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)

onde a função F(x) é a função resultante da integração da função f(x). O problema da integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto a encontrar a função F(x).

O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece uma indicação de como obter a integral. Para ver isto, supõe-se que o limite superior da integral, isto é, b, seja muito próximo de a, tal que se possa escrever:

b = a + \Delta x

Como os pontos limites da integral estão muito próximos, pode-se escrever:

\int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = F(a + \Delta x) - F(a)

Olhando na definição da integração como um limite, dada acima, pode-se dizer que a integral, neste caso, se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto pode-se afirmar, sem causar um erro muito grande, que:

\int_{a}^{a+\Delta x} f(x) dx = f(a) \Delta x = F(a + \Delta x) - F(a)

Comparando com a definição da derivada de uma função:

f(x) = \frac{ F(x + \Delta x) - F(x) }{ \Delta x } \rightarrow f(x) = \frac{d}{dx} F(x)

vê-se que a função procurada F(x) é uma função tal que, quando tomada a sua derivada, obtém-se a função f(x). Em outras palavras, ao se calcular a derivada de uma função pode-se também calcular a integral da função resultante. Esta propriedade mostra que a integração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se uma função for derivada e em seguida o resultado integrado, obtém-se a função original. Esta propriedade é chamada de Teorema fundamental do Cálculo.

Passo-a-Passo[editar | editar código-fonte]

Integral Definida - Uma integral definida consta basicamente em integrar uma função constante nos intervalos, através das primitivas, que nada mais são do que a função integrada a cada membro.

Fórmula das Primitivas

\int a\cdot x^{n} dx = \frac{a\cdot x^{n+1}} {n+1}

Exemplo:

Cada membro da função é tratado como uma função em