EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO

UNIVERSIDADE TIRADENTES – UNIT

ENGENHARIA CIVIL OU MECATRÔNICA

ALAN DANIEL

CAIO COSTA DE OLIVEIRA

LUCAS SAMPAIO

EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO

ARACAJU, SE – BRASIL

2015

ALAN DANIEL

                CAIO COSTA DE OLIVEIRA

LUCAS SAMPAIO

        

EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO

Trabalho apresentado como pré-requisito da disciplina Fenômenos de transporte, turma N03, Curso de Engenharia Civil da  Universidade Tiradentes, sob orientação da Professora Nayara Bezerra Carvalho.

ARACAJU, SE – BRASIL

2015

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .............................................................................................	4
2 ANÁLISE DIFERENCIAL DO ESCOAMENTO DO FLUIDO ......................	4
3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ..............	5
3.1 FORÇAS E CAMPOS DE TENSÃO .......................................................	5
3.2 BALANÇO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ................................	7
3.3 EQUAÇÃO DE CAUCHY .........................................................................	7
3.4 EQUAÇÃO NAVIER-STOKES ...............................................................	8
4 APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO MOVIMENTO ...............	8
5 CONCLUSÃO .............................................................................................	11
6 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ...........................................................	11

1. INTRODUÇÃO

        Fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento, não importa quão pequena ela seja; já a mecânica dos fluidos é a ciência que lida com o comportamento dos fluidos em repouso ou em movimento. Sendo assim, é essencial conhecer e compreender os princípios básicos e os conceitos da mecânica dos fluidos para analisar qualquer sistema no qual um fluido seja o meio operante (FOX, 2006).

A análise de qualquer problema de mecânica dos fluidos, de acordo com Fox (2006), começa com declarações das leis básicas que modelam o movimento do fluido. Essas leis básicas devem ser formuladas de modo adequado para resolver problemas de escoamento de fluidos. São elas:

a) Conservação da massa;

b) Segunda Lei de Newton;

c) Princípio da quantidade de movimento angular;

d) Primeira Lei da Termodinâmica e

e) Segunda Lei da Termodinâmica.

Na mecânica dos fluidos o interesse está no escoamento de fluidos através de dispositivos como compressores, turbinas, tubulações, entre outros. Dessa forma, o foco é o volume de espaço através do qual o fluido escoa e por esse motivo utiliza-se o enfoque do volume de controle (FOX, 2006).

As referidas leis básicas aplicadas no estudo da mecânica dos fluidos podem ser formuladas em termos de volumes de controle infinitesimais ou finitos. No caso de volumes de controle infinitesimais, as equações resultantes serão equações diferenciais (FOX, 2006).

Tais equações diferenciais são importantes na mecânica dos fluidos, pois a solução das equações diferenciais do movimento provê um meio de determinar o comportamento detalhado do escoamento.  (FOX, 2006).

        

2. ANÁLISE DIFERENCIAL DO ESCOAMENTO DO FLUIDO

        A equação da continuidade é usada para os fluidos incompressíveis e compressíveis. Porém nos fluidos incompressíveis é uma forma mais simples dessa equação. É bem verdade que, sempre haverá uma equação da continuidade para qualquer que seja o de fluido escoando podendo ser ele de forma arbitrária e descrito por qualquer modelo, já que a conservação de massa existe em qualquer situação. Porém a equação da continuidade para outros fluidos não incompressíveis, é muito mais complexa que para os fluidos incompressíveis. Fluído incompressível é um fluído que apresenta uma resistência à redução do seu volume próprio quando é submetido à ação de uma força.^[a] 

A conservação de massa na equação da continuidade é mostrada abaixo.

[pic 1]

Na equação da continuidade, para fluidos incompressíveis, a densidade de massa não é uma função do tempo ou espaço e a equação se reduz a:

[pic 2]

3. EQUAÇÃO DIFERENCIAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO

        Detalhar o desenvolvimento da equação diferencial da quantidade de movimento, da mesma forma que foi realizado em sala para a equação da continuidade, dividindo nos seguintes tópicos:

      3.1 FORÇAS E CAMPOS DE TENSÃO

Campos de Tensão:

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5][pic 6]

Forças:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

      3.2 BALANÇO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO

[pic 10]

[pic 11]

[pic 12]

      3.3 EQUAÇÃO DE CAUCHY

Fluido independente do seu comportamento reológico.

Na direção x:

[pic 13]

Na direção y:

[pic 14]

Na direção z:

[pic 15]

      3.4 EQUAÇÃO NAVIER-STOKES

[pic 16]

Equações de Navier-Stokes:

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

4. APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DO MOVIMENTO

        A aplicação da equação da equação diferencial da quantidade de movimento.

• Duas placas inclinadas separadas por grandes dimensões 1

Para um plano inclinado a melhor escolha do eixo X é na direção do fluxo, ou seja, paralelo ao plano, com o eixo Z perpendicular a este e apontando para baixo. O eixo Y, em consequência, ficará também paralelo ao plano. Considerando-se um plano de inclinação Θ, esse peso terá componentes no eixo X e no eixo Z, mas não no eixo Y; chamemos gx e gz essas componentes. A hipótese de fluxo laminar implica, obviamente, em vz = vy = 0. Finalmente, devido à simetria, para uma propriedade η qualquer: