Eng. Econômica

Tópico IV – SÉRIES DE PAGAMENTOS

4.1 – CONCEITO:

                Podem ser definidas como uma sucessão de pagamentos ou recebimentos, de valores V1, V2, ... , Vn, com vencimentos nos tempos t1, t2, ... , tn.

4.2 – CARACTERÍSTICAS:

1. a diferença de prazo entre cada termo e o seguinte é constante;
2. o número de termos é finito;
3. os valores dos termos podem ser:

c.1) constantes, uniformes ou iguais;

c.2) variáveis: aleatórios ou segundo uma lei de formação (P.A. ou P.G.).

1. os vencimentos podem ocorrer:

d.1) no final de cada período;

d.2) no início de cada período.

1. o regime de capitalização é de juros compostos.

4.3 – SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS COM TERMOS POSTECIPADOS

                Cada termo da série de pagamentos ou recebimentos iguais será representado por “PMT”, com cada pagamento ou recebimento ocorrendo no final dos intervalos de tempo.

4.3.1 – FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL - FAC(i,n)

                Representa o montante obtido pela aplicação de “n” parcelas de uma unidade de capital, em determinado intervalo de tempo e a uma determinada taxa de juros.

                                Dado “PMT”, achar “FV”.

                Chegaremos à formula através da solução do seguinte exemplo, utilizando os conhecimentos de matemática financeira vistos até agora.

EXEMPLO:

                Determinar o montante no final do quinto mês, de uma série de 5 prestações mensais, iguais e consecutivas, no valor de $100,00 cada uma, a uma taxa de juros de 4% ao mês, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do primeiro mês, ou seja a trinta dias da data tomada como base (momento zero) e que a última, no final do quinto mês, é coincidente com o momento em que é pedido o montante.

Pelo que conhecemos até agora, podemos achar “FV” utilizando a seguinte fórmula FV=PV(1+i)n  , que nos fornece o cálculo de “FV” para um único pagamento, mas possibilitando resolver o problema por partes:

FV1 = 100,00 (1 + 0,04)4 = 116,99

FV2 = 100,00 (1 + 0,04)3 = 112,49

FV3 = 100,00 (1 + 0,04)2 = 108,16

FV4 = 100,00 (1 + 0,04)1 = 104,00

FV5 = 100,00 (1 + 0,04)0 = 100,00

FVT ................................ = 541,64

Facilitando o trabalho:

Temos inicialmente que FVT = FV1 + FV2 + FV3 + FV4 + FV5 , substituindo os valores temos:

FVT = 100,00(1 + 0,04)4 +100,00 (1 + 0,04)3 +100,00 (1 + 0,04)2 +100,00 (1 + 0,04)1+  +100,00 (1 + 0,04)0 

Colocando 100,00 em evidência e remanejando os termos vem:

FVT = 100,00 [ (1 + 0,04)0 +(1 + 0,04)1+(1 + 0,04)2 +(1 + 0,04)3 (1 + 0,04)4 ]

A expressão entre colchetes acima representa uma progressão geométrica de razão 1,04, então podemos aplicar a fórmula que fornece a soma dos termos de uma P.G.:

           (a1 * qn) - a1 

SPG = ----------------

                  q – 1

onde: a1 = primeiro termo = (1 + 0,04)0