Equacoes diferenciais

1. INTRODUÇÃO

    Equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. Dada uma variável x, função de uma variável y, a equação diferencial envolve x, y, derivadas de y e eventualmente também derivadas de x.

As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em medicina, química e engenharia. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões, ou então, para se resolver um determinado problema proposto, como obter um estimado número de Engenheiros no Brasil em determinado ano, problema do qual trata este trabalho.

1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

A Engenharia é um amplo campo e está em superaquecimento atualmente. Hoje o Brasil forma cerca de 940 mil Engenheiros por ano e este número aumenta gradativamente por uma série de fatores, como por exemplo, a boa remuneração dos profissionais, um mercado de trabalho muito atrativo e vasta área de atuação.

Ao mesmo tempo em que cresce o número de profissionais formados, cresce também a necessidade de mais profissionais. Este crescimento na demanda de Engenheiros dá-se pela situação de crescimento em que o país se encontra e também pelo enriquecimento das classes mais baixas, que acabam necessitando de novas habitações e de infraestrutura mais eficiente.

Com base em uma série de pesquisas, observou-se que é possível então, utilizando dados numéricos reais que aconteceram há um determinado tempo, prever qual será o número de profissionais que se formarão futuramente. Tudo isso através da aplicação das Equações Diferenciais. Método muito utilizado por apresentar margem de erro muito pequena.

No caso dos profissionais de Engenharia, as Equações Diferenciais terão uma função de previsão, pois os resultados alcançados apresentarão um valor numérico, ou seja, uma estimativa que ocorrerá em alguns anos. Os resultados obtidos ajudarão numa melhor observação e compreensão da relação profissionais formados/ vagas disponíveis.

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CRESCIMENTO POPULACIONAL / EXPONENCIAL

3.1. Fundamentação teórica

Em 1798 o inglês Thomas Malthus desenvolveu um modelo matemático do crescimento populacional. O modelo de Malthus é um exemplo de um modelo com uma variável e um parâmetro. A variável é a quantidade observada, que geralmente mudam com o tempo. Os parâmetros são quantidades conhecidas do pesquisador antes da construção do modelo, que geralmente são constantes.

Para apresentar uma aplicação de equações diferenciais relacionadas com modelo de Malthus, é possível utilizar o modelo de crescimento exponencial, isto é, a variação da população em relação ao tempo, denotada por dP/dt. Em outras palavras, se P= P(t) é a população, temos: onde k é uma constante.

É simples verificar que se k>0, teremos o crescimento e se k<0, teremos o decaimento. Esta é uma Equação Diferencial Ordinária Linear, cuja solução é: onde P0 é a população inicial Se k>0, a população cresce e continua a expandir para +∞ Se k<0, a população reduzirá e tenderá a 0.

A solução geral do modelo de Malthus pode ser expressa por:

P e t serão as variáveis apresentadas, então:

 = k.P[pic 1]

 =[pic 2][pic 3]

ln P = kt + C

 = P[pic 4]

 =P[pic 5]

= P[pic 7][pic 6]

Logo, a solução geral é expressa por:

Onde P = População (também pode ser substituído por Q=Quantidade)

C=P0 (Quando t=0)

k= Constante de Proporcionalidade

t= Variável Tempo

3.2. Crescimento do Número de Engenheiros no Brasil

Segundo pesquisas realizadas, verificou-se que o número de formandos na área da Engenharia cresce proporcionalmente ao passar dos anos. Isso significa que, a cada ano há um determinado crescimento expresso em porcentagem, no número de profissionais formados.

No ano de 2000  havia uma faixa de 549,6 mil profissionais formados em Engenharia, em relação a este número, registrou-se um aumento para 937000 mil profissionais em 2010. Com base nestes dados, é possível alcançar o objetivo deste trabalho: determinar o número de engenheiros que o Brasil terá em 2020.

Temos a solução geral:

P = C. [pic 8]

É necessário encontrar o C da equação. Encontrar C é simples, utiliza-se a situação onde t = 0, tendo P0 = 549600. Desta forma a constante C será igual ao P0, isto se comprova expressando o seguinte cálculo:

P0 = C.[pic 9]

549600 = C.[pic 10]

549600 = C.[pic 11]

549600= C.1

[pic 12]

Encontrando o valor de C, é possível então encontrar o valor de k, a constante de proporcionalidade através dos outros dados propostos no problema. Sabendo que o valor inicial de profissionais é igual a 549600 mil e que em 10 anos este número aumenta para 937000 mil, separa-se o seguinte conjunto de informações:

t = 0         P0 = 549600

t = 10          P = 937000

Voltando a solução geral e aplicando os novos valores na mesma, tem-se:

P = C. [pic 13]

937000 = 549600.[pic 14]

 = [pic 15][pic 16]

0,533492541= ln[pic 17]

0,533492541= 10.k.ln e[pic 18]

Com o valor de C e de k, podem-se aplicar os valores no tempo desejado. Neste caso, deseja-se estimar o número de engenheiros que o Brasil terá em 2020. Em relação ao tempo inicial ti = 0, que se refere ao ano de 2000, para que se chegue no tempo desejado, ano de 2020, o valor de t precisa ser igual a 20 anos.