Equações polinomiais

ETAPA Nº 3

Aula-tema: Equações polinomiais

Passo 1

Fazer um levantamento histórico e elaborar um texto sobre equações polinomiais, com no máximo 3 folhas.

Definição

O primeiro contato que se tem com polinômios é através das equações. Uma equação da forma a n x n + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0, com n  N é chamada de equação polinomial.

Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f: RR definida por: p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ a n x n onde ao, a1, a2,... , a n são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente ao é o termo constante. Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.

Uma das funções polinomiais mais importantes é f: RR definida por: f(x) = a x² + b x + c. O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros. O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).

Grau de um polinômio

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr (p).

Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:

1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico.

2. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.

3. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.

4. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.

5. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.

6. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.

É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.

As equações polinomiais aparecem desde a antiguidade; no Papiro de A h m e s, de cerca de 1500 AC, um dos problemas que aparece é “em certa quantidade, somada a seus 2/3, mais sua metade e mais sua sétima parte perfaz 33. Qual é esta quantidade?”. A transcrição simbólica deste problema é: x + que é uma equação polinomial de grau1.

Vários matemáticos trabalharam com equações polinomiais, principalmente na pesquisa de fórmulas que permitissem a obtenção de suas raízes, citamos aqui, Alkhowarizmi, Bhaskara, Cardano, Tartaglia, Ferrari, Bombelli, Viète, Diofanto, Fermat, Gauss,