Exercicios Geometria Analitica

1- ETAPA 1

1-1 Passo 1

Definição de Equação Linear

Toda equação formada de coeficiente (an), incógnitas (xn) e termo independente (b), podendo se escritas na forma a1.x1 + a2.x2 + an.xn = b

Exemplos:

x + y = 10

2x –3y + 5z = 6

4x + 5y – 10z = –3

x – 4y – z = 0

Geralmente em um sistema como o de baixo, as equações que o formam são lineares.

{ x + y = 10

{ x - y = 6

O que é o Sistema linear?

Um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares nas mesmas variáveis, na variável x com m equações e n variáveis..

Definição de Sistemas de Equações Lineares

Em Matemática, um sistema de equações lineares (abreviadamente, sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis.

Por exemplo,

3x + 2y - z = 1

2x - 2y + 4z = -2

- x + 1/2y - z = 0

Solução de Equação Linear:

Um determinado conjunto será a solução da equação linear se todos os elementos desse conjunto forem iguais às incógnitas da equação e ao substituirmos os elementos desse conjunto nas incógnitas da equação linear a igualdade. Quando escrevemos duas ou mais equações em um sistema linear, estamos afirmando que as soluções dessas equações devem ser iguais.

Sistemas de Equações Lineares

Uma solução para um sistema linear é uma atribuição de números às variáveis que satisfaz simultaneamente todas as equações do sistema. Uma solução para o sistema acima é dada por

x = 1

y = - 2

z = -2

Já que esses valores tornam válidas as três equações do sistema em questão. A palavra "sistema" indica que as equações devem ser consideradas em conjunto, e não de forma individual.

1.2 Passo 2

Classificação dos Sistemas Lineares

Podemos obter 03 condições de solução: uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Os sistemas podem ser classificados em:

Sistema compatível - determinado.

- indeterminado.

Sistema impossível.

Sistema compatível Determinado: Ao ser resolvido encontraremos uma única solução.

Exemplo: x + y = 5

x - y = 3

Sistema compatível Indeterminado: Esse tipo de sistema possui infinitas soluções, os valores de x e y assumem inúmeros valores.

Exemplo: x + y = 4

0x - 0y =0

Sistema Impossível: Ao ser resolvido, não encontraremos soluções possíveis para as incógnitas, por isso esse tipo de sistema é classificado como impossível.

Exemplo: x + y = 15

x + y = 20

Matriz dos coeficientes das variáveis:

É a maneira de descrever a matriz sem as incógnitas das equações:

Exemplo:

Equação

4I1 -2I2 -I3 = -5

-2I1 5I2 -I3 = 0

-I1 -I2 5I3 = -2

Matriz dos coeficientes das variáveis

4

-2 -1

-2 5 -1

-1 -1 5

Matriz ampliada de um Sistema Linear:

É a maneira onde descreve a matriz colocando os coeficientes das variáveis das equações de um lado e os termos independentes do outro, separados por um traço.

Exemplo:

Equação

4I1 -2I2 -I3 = -5

-2I1 5I2 -I3 = 0

-I1 -I2 5I3 = -2

Matriz ampliada:

4 -2 -1 -5

-2 5 -1 0

-1 -1 5 -2

1.3 Passo 3

Modelagem da situação-problema:

Utilizando a Lei de Kirchhoff foi modelado as três malhas para obtermos as equações conforme abaixo:

Malha 1:

VAB + VBC + VCD +VDA=0

2.(I1) + 10 + 4.(I1-I2) + 2.(I1-I3) = 0

2I1 + 10 +4I1 – 4I2 + 2I1 – 2I3 = 0

8I1 – 4I2 – 2I3 = -10 (÷2)

4I1 -2I2 –I3 = -5

Malha 2:

VCE + VEF + VFD +VDC=0

3.(I2) + 1(I2) + 2.(I2-I3) + 4.(I2-I1) = 0

3I2 + I2 +2I2 – 2I3 + 4I2 – 4I1 = 0

10I2 – 4I1 – 2I3 = 0 (÷2)

-2I1 +5I2 –I3 = 0

Malha 3:

VAD + VDF + VFG +VGH + VHA=0

2.(I3 –I1) + 2(I3 –I2) + 4 + 6.(I3) + 0 = 0

2I3 –2I1 + 2I3 –2I2 + 4 + 6I3 = 0

10I3 –2I1 –2I2 = -4 (÷2)

-I1 -I2 +5I3 = -2

Obtivemos um Sistema de Equação Linear com três equações e três