Função Quadrática

Função Quadrática (Lista 3)

Revisão

Definição de Função Quadrática

Uma função f:     [pic 1]      chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com a [pic 2]0, tal que f(x) = ax² + bx + c para todo x [pic 3]    .[pic 4][pic 5][pic 6]

f:     [pic 7] [pic 8][pic 9]

                         x [pic 10] ax² + bx + c

Alguns exemplos:

* f(x) = -x² + 100x, em que a = -1, b = 100 e c = 0

* f(x) = 3x² - 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1

* f(x) = x² - 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4

* f(x) = 17x², em que a = 17, b = 0 e c = 0

Observe que não são funções quadráticas:

* f(x) = 3x

* f(x) = 2[pic 11]

* f(x) = x³ + 2x² + x + 1

Exercícios Propostos

1) As seguintes funções são definidas em    . Verifique quais delas são funções quadráticas e identifique em cada uma os valores de a, b e c:[pic 12]

a) f(x) = 2x (3x - 1)

b) f(x) = (x + 2) (x - 2) – 4

c) f(x) = 2(x + 1)²

2) Dada a função quadrática f(x) = 3x² - 4x + 1, determine:

a) f(1)                                c) f([pic 13])                      e) f(h + 1)

b) f(0)                                 d) f(-2)                         f) x de modo que f(x) = -1

3) De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus quatro cantos, quadrados de lado x. Determine a expressão que indica a área da parte que sobrou em função de x.

Gráfico da Função Quadrática

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

Exemplo: f(x) = x² - 4x + 3

Observe a tabela abaixo:

x	Y = f(x) = x² -4x + 3	(x, y)
0	3	(0, 3)
1	0	(1, 0)
2	-1	(2, -1)
3	0	(3, 0)
4	3	(4, 3)

Gráfico:

[pic 14]

Zeros da Função Quadrática

Os zeros de f(x) = ax² + bx + c são os números x[pic 15]    tais que f(x) = 0, ou seja, os zeros da f são os pontos do eixo das abscissas onde a parábola o intercepta. [pic 16]

Determinação dos Zeros da Função Quadrática

A fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, às raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0 é a fórmula de Báscara: x = [pic 17]com [pic 18]= b² - 4.a.c (discriminante).

Observações:

1) Quando[pic 19]> 0, a função f(x) =  ax² + bx + c tem dois zeros reais diferentes (a parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos).

[pic 20]

2) Quando[pic 21]= 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem um zero real duplo (a parábola intersecta o eixo x em um só ponto).

[pic 22]

3) Quando [pic 23]< 0, a função f(x) = ax² + bx + c não tem zeros reais (a parábola não intersecta o eixo x).

[pic 24]

        

4) Relação entre coeficientes e raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a[pic 25]0.

Existindo zeros reais tal que:

x[pic 26] = [pic 27]    e     x[pic 28] = [pic 29], obtemos:

x[pic 30]+ x[pic 31]= [pic 32] + [pic 33] = [pic 34] = [pic 35] 

Logo, x[pic 36]+ x[pic 37]= [pic 38].

x[pic 39]. x[pic 40]= [pic 41] . [pic 42]= [pic 43]= [pic 44]= [pic 45]

Logo, x[pic 46]. x[pic 47]= [pic 48].

Exercícios Propostos

1) Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo:

a) f(x) = x² - 3x                                                                 c) f(x) = -x² +2x + 8

b) f(x) = x² +4x + 5                                                          d) –x² +3x – 5

2) Para que valores reais de k a função f(x) = (k - 1)x² - 2x + 4 não admite zeros reais?

3) Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma retangular, em filas, de tal modo que o número de alunos de cada fila supera em 8 o número de filas. Quantos alunos há em cada fila?