Hiperboloide de 2 folhas

JOÃO ALEXANDRE SÀ[pic 1]

LUCAS GABRIEL DA SILVA LIMA

VINICIUS COSTA BARROS

HIPERBOLOIDE DE DUAS FOLHAS – HISTORIA, CONTEXTO, USO e ETC.

UFMA

IMPERATRIZ – 2016

JOÃO ALEXANDRE SÀ

LUCAS GABRIEL DA SILVA LIMA

VINICIUS COSTA BARROS

HIPERBOLOIDE DE DUAS FOLHAS – HISTORIA, CONTEXTO, USO e ETC.

Trabalho técnico-cientifico apresentada
a disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear
como forma de obtenção de nota parcial referente
ao primeiro período.

UFMA

IMPERATRIZ – 2016

INTRODUÇÃO

Chama-se Quádrica ou Superfície Quádrica ao conjunto dos pontos P = (x,y,z) em E3 tais que G(x,y,z) = ax² + by² +cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy +iz + j = 0, onde a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, são números reais, com a, b, c, d, e, f, não simultaneamente nulos. Os exemplos mais interessantes de quádricas são o elipsóide, hiperbolóide de uma folha, hiperbolóide de duas folhas, cone elíptico, parabolóide elíptico, parabolóide hiperbólico ou sela. Segundo Boulos e Camargo ([1], cap. 25), o nome quádrica vem do fato que as equações que as descrevem são equações do segundo grau, ou equações quadráticas.

Hiperbolóide de duas folhas: Um subconjunto S de E3 é um hiperbolóide de duas folhas se existe um sistema ortogonal de coordenadas e números a, b e c positivos tais que: S = { P = (x,y,z) ; -x2 /a2 + y2 /b2 - z2 /c2 = 1 }. Como no caso de h. de 1 folha têm-se outras equações similares para o de 2 folhas.

Tipo e característica da Hiperboloide  de duas folhas  Ax2 + By 2 + Cz 2 = D, com D > 0; e A, B e C , não-nulos, sendo dois deles negativos.

DESENVOLVIMENTO

Historia

Na antiguidade já se estudavam problemas que desencadearam descoberta de grande valia para a matemática. Um desses problemas foi o das seções cônicas, que desencadeou as superfícies quádricas. As seções cônicas foram descobertas por Menaecmus (cerca de 350 a.C.) que se deu a partir da duplicação do cubo, ou seja, encontrando o valor das arestas cujo volume fosse o dobro do volume de um cubo dado (AFONSO, 2007). Segundo o mesmo autor, Menaecmus elaborou duas soluções para a questão: uma envolvendo a intersecção de duas parábolas, e a outra, a intersecção de uma hipérbole e uma parábola. As curvas obtidas por Menaecmus foram a partir das secções de um cone circular reto com planos perpendiculares a uma seção meridiana, obtendo 3 tipos distintos de curva conforme o ângulo, era agudo, reto ou obtuso. Segundo Correia (2013, p. 7) “Ele chamou a essas secções de ‘a secção de um cone de ângulo agudo’ (elipse), ‘a secção de um cone de ângulo reto’ (parábola) e ‘a secção de um cone de ângulo obtuso’ (hipérbole)”. Mais tarde surgem as obras de Apolônio de Perga (262 a 192 a.C.), nasceu em Perga e considerado um dos três matemáticos mais importantes do período, ao lado de Euclides e Arquimedes. Foi o escritor de 8 livros sobre as seções cônicas. Apolônio demonstrou que a elipse, a hipérbole e a parábola podem ser alcançadas a partir das secções de um mesmo cone, não necessariamente o próprio deve ser reto. A definição de cone de Apolônio, que é diferente da de Euclides, segundo Correia (2013, p. 9-10): Uma reta g de comprimento indefinido e passando por um ponto fixo V, move-se ao longo da circunferência de um círculo não complanar com o ponto V. Desse movimento resultam duas superfícies verticalmente opostas, uma em relação à outra. O ponto fixo V representa o vértice do cone, a reta traçada do vértice para o centro O (centro da circunferência) o eixo, a reta VP uma geratriz e a círculo de centro O e raio OP a base do cone (figura 02). (CORREIA, 2013, p. 9-10) A partir dessa definição, Apolônio estabelece uma superfície cônica que é análoga ao que atualmente é conhecido como um duplo cone (CORREIA, 2013, p. 10). As superfícies quádricas são derivadas das secções cônicas. É representado pela equação do 2ºgrau, cuja forma geral é ax² + by² + cz² + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0, na qual o gráfico da equação que as representas é em R³. As mais conhecidas são: Elipsóide, parabolóides, hiperbolóide, esfera, cilindro e cone.

[pic 2]

[pic 3]

Equações gerais da hiperboloide

Podemos afirmar que um hiperbolóide de duas folhas pode ser obtido através da rotação de uma hipérbole ao redor de seu eixo focal (Sérgio, 2012). A expressão chamada de forma canônica ou padrão de uma superfície quádrica centrada, dada: [pic 4]

onde a, b e c são constantes e os eixos de simetria são tomados como os eixos coordenados. Quando b = c, as seções y-z são circulares e esta é o hiperbolóide de revolução de duas folhas obtido girando a hipérbole

[pic 5]

Na fórmula, quem está positivo possui o denominador “ c” e será o eixo de simetria. Sinal negativo acompanhando a quadratura, não intercepta o eixo. Ao redor do eixo-x.

[pic 6]

Os cortes do hiperbolóide elíptico de duas folhas com qualquer plano vertical paralelo a um dos planos coordenados x z ou y z sempre produz uma hipérbole, de equação

[pic 7] ou [pic 8]

Tomando, respectivamente, y = ± k ou x = ± k constante. Na figura, as hipérboles limites em carmim são obtidas pelos planos coordenados verticais pela origem.

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