História da Descoberta do Conceito de Matemática Envolvendo Logaritmos

2. Logaritmo

História da Descoberta do Conceito de Matemática Envolvendo Logaritmos.

Nicole de Oresme, no século XIV eu forma ao conceito de função através de seus trabalhos. Começou a descrever formalmente as variações dinâmicas da natureza no seu “Tratado sobre as latitudes das formas”. Antes, a matemática descrevia e estudava apenas a geometria; os números com suas operações e suas teorias; equações; em geral, elementos estáticos e que não variavam com o tempo. Estas descrições da natureza de Oresme eram feitas de forma discursiva e auxiliadas pela geometria, estudo derivado da inexistência de simbologia algébrica, pois a geometria analítica que veio a ser criada por Descartes três séculos mais tarde. Nesta época foi desenvolvida a aritmética, foram criados os algoritmos da soma, da subtração, da multiplicação e da divisão. Também foram criados algoritmos para a extração de raízes quadradas e cúbicas.

A evolução do comércio, as descobertas de terras desconhecidas e o financiamento das grandes expedições marítimas necessitavam cada vez de mais matemática e que fosse avançada. O conceito de função e os algoritmos aritméticos satisfaziam em parte esta demanda, mas não eram suficientes. A matemática até aí conhecida não dava conta de resolver problemas de matemática financeira que envolvia juros compostos como, por exemplo: calcular a taxa de juros diária de um capital emprestado a uma taxa mensal de 20%. Para resolver estas dificuldades seria necessário encontrar uma função que transformasse produto em soma, pois esta função transformaria divisão em subtração, potenciação em multiplicação e radiciação em divisão. Munidos com esta função seria possível determinar a taxa de juros diária, que necessita da extração de uma raiz trigésima, mediante uma divisão por 20. Havia exemplos na matemática de que isso deveria ser possível, basta observar a seqüência (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,...) que é uma progressão geométrica, nela o produto do terceiro termo com quinto termo fornece o oitavo termo, onde 8=3+5. Inspirados por esses exemplos matemáticos como Bürgi, Briggs e Napier dedicaram suas vidas na construção de tabelas, suficientemente completas e práticas, que permitiam transformar multiplicação em adição e as quais serviam às necessidades do comércio, das navegações, da astronomia e das ciências da natureza e da própria matemática.

Além disso, essa construção do conceito da função logaritmo está baseada diretamente nas propriedades operacionais dos logaritmos. Ao passo que a concepção de função logaritmo como sendo a função inversa da função exponencial, apesar de matematicamente correta e utilizada nos livros didáticos, apresenta vários obstáculos à aprendizagem, à compreensão e à aplicação dos logaritmos em situações-problema. Nesta concepção, precisa-se memorizar as propriedades e as regras dos logaritmos para poder utilizá-las, mas eles não compreendem como as grandezas variam na função logaritmo, isto é, como a função logaritmo se comporta.

A função logaritmo natural é também conhecida como função logaritmo neperiano. Para isso é necessário traçar o gráfico da função y=f(x)=1/x em papel quadriculado e computar a área A(x) da região limitada pelo gráfico e pelo eixo horizontal da abcissa 1 até a abcissa x, fazendo x variar em intervalos de comprimento 0,1 e anotar os valores de x e do valor correspondente da área A(x) numa tabela.

Ao analisar a tabela, descobre-se que a área A(x), como uma função de x, é uma função que transforma multiplicação em adição. Assim esta função área A(x) é uma função logaritmo e cuja base é o valor de x cuja área A(x) vale 1.

Exercício 1

ITEM A:

Q = quantidade inicial de frutas

Após 1 hora a quantidade de frutas é:

Q-0,20Q= Q(1-0,20)

Após 2 horas a quantidade de frutas é:

Q(1-0,20) - 0,20 Q(1-0,20)= Q(1-0,20)^2

Portanto, depois de t horas a quantidade de frutas será:

F(t)= Q(1-0,20)^t=Q.0,80^t

Portanto, depois de 2 horas a quantidade de frutas será:

F(t)= Q. 0,8^2=0,64Q

Resposta: Ao final das 2 horas de venda restam 64% da quantidade inicial.

ITEM B:

F(k)= Q0,80^k

Após de K horas a quantidade diminui ritmamente a 10% ou seja:

F(t)= [Q.0.80^k]. (1-0,10)^(t-k)=Q0,80^k0,9^(t-k)

para t=8 o valor de F(t)=0,32Q ou seja

Q0,80^k0,9^(8-k)=0,32Q

0,8^k.0,9^(8-k)=0,32

Tomando logaritmos de ambos os membros:

klog0,8+(8-k) log (0,9)= log(0,32)

0,8=8/10=2^3/10

0,9=9/10=3^2/10

0,32= 32/100= 2^5/100

log0,8= 3log2-log10=3.0,30-1=-0,10

log0,9= 2LOG3-LOG10= 2.0,48-1=-0,04

log0,32= 5log2-2=1,50-2= -0,50

-0,10k-(8-k)0,04=-0,50

-0,10k-0,32+0,04k=-0,50

-0,06k=-0,18

k=-0,18/-0,06=3

t = 3

Exercício 2

100000 . (1,08)^n > 400000 . (0,85)^n

(1,08)^n > 4 . (0,85)^n

n . log 1,08 > log 4 . 0,85^n

n . log 1,08 > log 4 + n log 0,85

n . log 1,08 - n log 0,85 > 2 log 2

n log (1,08 / 0,85) > 2 . 0,301

n . 0,104 > 0,602

n > 5,78.

n = 6

Resposta: Serão necessários 6 meses para que a circulação do primeiro jornal