Integrais Definidas e Indefinidas

trodução

Nesta atividade aprenderemos sobre o conceito de “Integrais Definidas e Indefinidas”, bem como exemplos e utilização das mesmas. Através destes estudos teremos um conhecimento mais amplo, pois ela tem aplicações em todo o campo da ciência e física, e será muito útil para compreendermos sua utilização.

Aula – Tema: A Integral Indefinida

Etapa 01

Passo 01

Se a derivada de F é f, dizemos que F é uma primitiva ( ou antiderivada) de f. Por exemplo, como a derivada de é 2 , dizemos que é uma primitiva de 2 .

Note que 2 tem muitas primitivas , já que A função f(x) = 2x tem uma família de primitvas.

Vamos considerar outro exemplo. Se v é a velocidade de um carro e s sua posição, então v = ds/dt e s é uma primitiva de v. Como anteriormente, s + C é uma primitiva de v para qualquer constante C. Em termos do carro , somar C a s é equivalente a somar C ao odômetro. Somar C ao odômetro significa, simplesmente, medir a distância a partir de uma ponto diferente, o que não altera a velocidade do carro.

Passo 02

Todas as primitivas de f(x) são de forma F(x) + C. Vamos usar uma notação para a primitiva geral que parece com uma integral definida, mas sem os limites; ela é chamada de integral indefinida:

É importante compreender a diferença entre

A primeira é um número e a segunda é uma família de funções. A palavra “integração” é utilizada, freqüentemente, para o processo de encontrar primitiva, assim como para o processo de calcular uma integral definida. Em geral, o contexto deixa claro qual processo está em consideração.

Exemplo 1 : Para encontrar uma primitiva de f(x) = x, note que 2x é a derivada de

; isso nos diz que é uma primitiva de 2x. Dividindo por 2, podemos fazer a conjectura de que

Para verificar essa afirmação, basta derivar /2:

Exemplo 2:

Encontre

Você deve sempre verificar sua primitiva por diferenciação:

Passo 03

O que é uma primitiva de f(x) = 0 ?

Uma função cuja derivada é nula em todos os pontos de um intervalo tem de ter uma reta tangente horizontal em todos os pontos de seu gráfico, e a única maneira de isso acontecer é se a função é constante. Pensando de outro modo, se pensarmos na derivada como sendo a velocidade, se a velocidade é sempre nula, então o objeto está parado; a função posição é constante. O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x.

Gráfico de uma função constante

A função polinomial é uma função dada por um polinômio. É uma função cuja regra que associa os elementos do domínio x às respectivas imagens y. As funções

PASSO 2

DESAFIO A

Qual das alternativas representa a integral indefinida de : ( a33+3a3+3 a )

( a33+3a3+3 a )=

F(a)=13a3+31a3+31a=

F(a)=13.a44+31.a-2-2+3.lna=

F(a)=a412-32a2+3.lna+c

A alternativa correta correspondente ao desafio A é a ( b )

DESAFIO B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C’(q) = 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C (0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

1000dq+50d.dq=

C(q)=1000q+50q22=

C(q)=1000q+25q2+c=

C(q)=1000+25q2+10000

A alternativa correta correspondente ao desafio B é a ( a )

DESAFIO C

No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do inicio de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1.e0,07t. Qual das alternativas responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

Para 1992 Para 1994

Ct=16,1.e0,07t= Ct=16,1.e0,07t=

C2= 16,1.e0,07.2= C2= 16,1.e0,07.4=

C2=18,52 bilhões C2=21,30 bilhões

18,52 bilhões + 21,30 bilhões = 39,76 bilhões

A alternativa correta correspondente ao desafio C é a ( c )

DESAFIO D

A área sob a curva y=ex2 de x=-3 a x=2 é dada por:

-32ex2dx

u=x2

du= ddxx.2-x.ddx222=24dx=

du=12dx=