Integral indefinida

1. INTEGRAL INDEFINIDA 1.1 Primitiva de uma função Uma função F(x) é chamada primitiva da função f(x) em um Intervalo I, se para todo

I , temos:x

f ( x)F ' ( x)

9 2 x 2 Exemplo 2: F(x) = 3x³ é uma primitiva de f(x) = 9x²,  2 xdx É possível definir que as primitivas de uma função f(x) estão sempre definidas sobre algum intervalo. Quando os intervalos não são explícitos e refere-se a duas primitivas da mesma função f(x), entende-se que essas funções são primitivas de f(x) no mesmo intervalo. Exemplo 1: F(x) = x² é uma primitiva de f(x) = 2x, 3x 3 Porém a mesma função 2x pode ter outras primitivas, por exemplo, F(x) = x²+2..., com isso, é possível concluir que uma mesma função f(x) admite mais que uma primitiva. Para tanto se adota na primitiva de todas as funções +C, mostrando que pode haver alguma constante não considerada na expressão original. De acordo com esta notação o símbolox 2 dx



é chamado de sinal de Integração.

1 n xO processo que permite achar a Integral Indefinida é chamado de Integração. O símbolo dx que aparece na função a ser Integrada serve para identificar a variável de Integração. Portanto, conclui-se que para calcularmos as primitivas, devemos seguir as instruções descritas abaixo: [ n x ] = x

 x dx n

1C n 1 x n

Assim, demonstramos os cálculos dos exemplos apresentados anteriormente: Exemplo 1:

xdx 2 xdx 2  2 x x 2

C 2 x2 2x2

4

Exemplo 2:

x 2 dx 9 x 2 dx 9  9 x 2 3x 3

C 3 3x 3 9x3

1.2 Definição de Integral Indefinida Todas as primitivas de f(x) são da forma F(x) + C. Para isso, usa-se uma notação para a primitiva geral que parece com uma integral definida, mas sem os limites, ela é chamada de integral indefinida:

C F ( x)  f ( x)dx 

É importante compreender a diferença entre:

f ( x)dx

b

a

e

f ( x)dx

A primeira é um número e a segunda é uma família de funções. A palavra “integração” é utilizada, frequentemente, para o processo de encontrar uma primitiva. Em geral, o contexto deixa claro qual o processo está em consideração.

1.3 Teorema da Função Constante Se f é constante em um intervalo, sabe-se que f’(x)=0 nesse intervalo> Se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b). Se f’(x)=0cm (a,b), então f é constante em [a,b]. Quando tem-se f’(c)=0, significa que f(x1)-f(x2)=0, logo, f(x1)=f(x2) para a≤ x1< x2≤b, de modo que a função é constante.

1.4 Função polinomial Função polinomial é quando existe mais que um termo a ser integrado, ou seja, que a função a ser integrada possui alguma operação matemática, abaixo é apresentado um exemplo de uma função polinomial, no qual existe uma soma a ser integrada: Exemplo:

 3dx  2 x  x 3

C 4 3x  x 2 x4

5

1.5 Expoente da função polinomial diferente de -1 O expoente na função polinomial deve ser diferente de -1, pois se fosse igual a 1 o

x0 resultado seria , isso pode ser verificado através da diferenciação, conforme apresentado 0

abaixo:

1 1 n  xn dx n   1) x n ( )1 (n d x n

Na notação de integral indefinida, mostra-se que:

 x dx n

1 01  1 x0 11 x 1