Limites e derivadas aplicados á engenharia

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

Universidade federal de mato grosso

LIMITES E DERIVADAS APLICADAS NA ENGENHARIA

Maria Madalena de Jesus

Resumo:A proposta deste artigo é relatar as aplicações dos limites e das derivadas aplicados a engenharia.No dia a dia do engenheiro existe uma diversidade de problemas para serem resolvidos,e para isso o mesmo precisa ter um amplo conhecimento em diversas áreas de atuação.Os limites e as derivadas  são muito importantes,pois ajudam a solucionar inúmeros problemas.O profissional nesta área busca obter custos mais acessíveis,melhorar o uso de materiais e gastar menos tempo para executar suas atividades.Neste artigo irá demontrar algumas das aplicações de  limites e derivadas na engenharia,e também mostrará que o uso do cálculo associa-se a área para calcular resultados de cargas,volumes,áreas entre outros.

DEFINIÇÃO DE LIMITES

Escreve-se lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 Onde lê-se “O limite de f(x), quando x tende à 𝑎, é igual a L”. Podemos entender que, quanto mais próximo for o valor de x, ao valor de 𝑎, mais os valores da função f(x) se aproximam de L. Ainda assim, podemos escrever a definição de limite de uma forma concisa e completa, onde, seja uma função definida em algum intervalo aberto que contenha o número 𝑎, exceto o próprio 𝑎. Então dizemos que o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende a 𝑎 é 𝐿, e escrevemos lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝐿 Se para todo número 𝜀 > 0 houver um número 𝛿 > 0 tal que Se 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 então |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀 2.2. Propriedades de Limite: Vamos considerar como sendo 𝑐 uma constante e existentes os limites lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) e lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 2.1.1. lim𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) + lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 2.1.2. lim𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) − lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 2.1.3. lim𝑥→𝑎 [𝑐𝑓(𝑥)] = c lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 2.1.4. lim𝑥→𝑎 [𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥)] = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) . lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 2.1.5. lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) , se lim𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≠ 0

DEFINIÇÃO DE DERIVADAS

Conforme Leithold (1994), a derivada pode ser interpretada geometricamente como a inclinação de uma reta tangente a uma curva. Porém, quando interpretada como taxa de variação ela mostra sua importância em diversos ramos das ciências tais como física, biologia, química, economia, entre outros. Seja f uma função definida em um intervalo I e ݔ଴ um elemento de I. Chama-se de derivada de f no ponto ݔ଴o limite lim௫→௫బ ௙(௫)ି௙(௫బ) ௫ି௫బ , se existir e for finito (IEZZI, MURAKAMI, & MACHADO, 1993). A diferença ∆ݔ = ݔ − ݔ଴ é chamada de acréscimo ou incremento da variável ݔ relativamente ao ponto ݔ଴. A diferença ∆ݕ = ݂(ݔ) − ݂(ݔ଴ ) é o acréscimo ou incremento da função f relativamente ao ponto ݔ଴. O quociente ∆௬ ∆௫ = ௙(௫బା∆௫)ି௙(௫) ∆௫ recebe o nome de razão incremental de f relativamente ao ponto ݔ଴. Para se chegar a uma boa definição de reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, deve-se pensar que essa reta tangente é a reta que melhor aproxima o gráfico a vizinhança desse ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência. Considere a curva de uma função contínua f, onde ݔ଴ e ݂(ݔ଴ ) são as coordenadas do ponto A onde se deseja traçar uma reta tangente. Seja agora outro ponto B do gráfico de ݂, descrito por (ݔ଴ + ∆ݔ, ݂(ݔ଴ + ∆ݔ)), onde ∆ݔ é o deslocamento no eixo das abscissas, ocorrido do ponto A ao ponto B. A reta que passa por A e B é secante à curva ݕ = ݂(ݔ). A inclinação (coeficiente angular) desta reta é dada pelo quociente de Newton, definido como a razão incremental de ݂ com respeito à variável ݔ, no ponto ݔ଴:(Tangente em A). Segundo Marques (2006), seja f uma função ݕ = ݂(ݔ) definida no intervalo (a, b), sendo ݔ଴ e ݔ଴ + ∆ݔ dois pontos de (a, b), onde ∆ݔ denota a variação dos valores de ݔ.    

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