Limites E Derivada

LIMITE DE UMA FUNÇÃO

DEFINIÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO

É uma função definida em cada numero de algum intervalo aberto que contem

a, exceto ele mesmo. O limite f(x) conforme x se aproxima de a é L, escrito por:

limx->a F(x)= L

TEOREMAS DE LIMITES

• LIMITE DE UMA CONSTANTE:

limx->a c = c

• LIMITE IDENTIDADE:

limx->a x = a

• LIMITE DA SOMA E DA DIFERENÇA:

Se limx->a f(x) = L e limx->a g(x) = M então:

limx->a [f(x) + ou – g(x)] = L + M

• LIMITE DO PRODUTO:

Se limx->a f(x) = L e limx->a g(x) = M então:

limx->a [f(x) . g(x)] = L . M

• LIMITE DA POTENCIA:

Se limx->a f(x) = L e n é qualquer numero inteiro positivo, então:

limx->a [f(x)]n = Ln

• LIMITE DO QUOCIENTE:

Se limx->a f(x) = L e limx->a g(x) = M então:

limx->a f(x)/g(x) = L/M se M≠ 0

• LIMITE DA RAIZ:

Se n é um numero inteiro positivo e limx->a f(x) = L, então:

limx->a n f (x) = n L

LIMITES LATERAIS

O limx->a f(x) existe e é igual a L se, e somente se, limx->a

-

f(x) e limx->a

+

f(x)

existem e são iguais a L.

LIMITES QUE CRESCEM/DECRESCEM PARA O INFINITO

Se r é qualquer numero inteiro positivo, então:

(I) limx->0

+

r x

1 = + ∞

(II) limx->0

-

r x

1 = - ∞ se r é impar e + ∞ se r é par

Se a é qualquer numero real e se limx->a f(x) = 0 e limx->a f(x) = c, onde c é uma

constante diferente de 0, então:

(I) se c > 0 e f(x)→0 atraves por valores positivos de f(x), então:

limx->a

( )

( )

f x

g x = + ∞

(II) se c > 0 e f(x)→0 atraves por valores negativos de f(x), então:

limx->a

( )

( )

f x

g x = - ∞

(III) se c < 0 e f(x)→0 através por valores positivos de f(x), então:

limx->a

( )

( )

f x

g x = - ∞

(IV) se c < 0 e f(x)→0 através por valores negativos de f(x), então:

limx->a

( )

( )

f x

g x = + ∞

Se limx->a f(x) = +∞ e limx->a f(x) = c, onde c é qualquer constante, então:

limx->a [f(x) + g(x)] = + ∞

Se limx->a f(x) = -∞ e limx->a f(x) = c, onde c é qualquer constante, então:

limx->a [f(x) + g(x)] = - ∞

Se limx->a f(x) = + ∞ e limx->a f(x) = c, onde c é qualquer constante, então:

(I) se c > 0, limx->a f(x) . g(x) = + ∞

(II) se c < 0, limx->a f(x) . g(x) = -∞

Se limx->a f(x) = -∞ e limx->a f(x) = c, onde c é qualquer constante, então:

(I) se c < 0, limx->a f(x) . g(x) = +∞

(II) se c > 0, limx->a f(x) . g(x) = -∞

A reta x = a é uma assíntota vertical se ao menos um dos seguintes

enunciados é verdadeiro:

(I) limx->a

+

f(x) = + ∞

(II) limx->a

+

f(x) = - ∞

(III) limx->a

-

f(x) = + ∞

(IV) limx->a

-f(x) = - ∞

Se diz que a função é continua no numero a se, e somente se, se satisfazem

as três seguintes condições:

(I) f(a) existe

(II) limx->a f(x) existe

(III) limx->a f(x) = f(a)

Se uma dessas tres condições não se cumprem em a, então diz-se que a

função f é descontinua em a.

Se f e g são duas funções continuas no numero a, então:

(I) f + g é continua em a

(II) f - g é continua em a

(III) f . g é continua em a

(IV)

g

f é continua em a, sendo g(a)