ATPS DERIVADAS E LIMITES

Etapa 1

Função Linear

Definição de função Linear: Uma função que estabelece entre X e Y uma relação tal Y/X e constante e dita linear.

Expressamos a relação por Y= a.x “a” constante e dizemos que a variação de “y” é diretamente proporcional a variação de “X”.

1.1. Conceito de função linear Passo 1

Equação para o custo total de água ;

f(x) = ax+b

f(x) = 1,9x+13

1 14,9

2 16,8

3 18,7

4 20.6

5 22,4

6 24,4

7 26,3

8 28,2

9 30,1

10 32

1.2. Coeficiente Angular - Passo 2

Tendo a seguinte situação problema: O valor da conta de água é dado por uma tarifa fixa, mais uma parte que varia de acordo com o volume, em metros cúbicos utilizados, caso exceda o volume considerado na tarifa fixa. O valor da tarifa fixa é de R$ 13,00 e a cada metro cúbico excedente acrescenta R$ 1,90 no valor da conta.

A estrutura tarifária está relacionada com a forma em que o preço do produto ou serviço é aplicado ao consumidor, em outros termos, uma estrutura tarifária refere-se ao estabelecimento de um mecanismo lógico de preços diferenciados, que devem ser associados à quantidade consumida do produto ou serviço para cálculo da conta a ser paga pelo consumidor. A forma da função linear é expressa:

Y = f(x) = b + mx ou y=(x)=b+ax

Seu gráfico é uma reta (gráfico 1).

* m é o coeficiente angular ou taxa de variação de y em relação x;

* b é a interseção com o eixo vertical, ou valor de y quando x = 0.

Demonstre que o coeficiente angular de uma função linear y = f(t) pode ser calculado a partir de valores da função em dois pontos descritos no passo 1.

A (4; 20,6)

B (9; 30,1)

tg α= 30,1-20,6÷9-4

tg α= 9,5÷5= 1,9

1.3. Gráfico Situação Problema 1 - Passo 3

f(x) = ax+b

f(x) = 1,9x+13

1 14,9

2 16,8

3 18,7

4 20,6

5 22,5

6 24,4

7 26,3

8 28,2

9 30,1

10 32

Função Linear

Figura – Gráfico Situação-Problema 1

Fonte: THIAGO ALVES, 2011, p. x.

Para uma função ser linear seu coeficiente angular, ou taxa de variação, é a mesma em todos os pontos.

Etapa 2

Função Exponencial e Função Logarítmica

A função exponencial e definida a parttir da função logatimica e ciclicamente define-se a função logarítmica em função da exponencial como :

f(x) = exp (x) ,se e somente se ,x + Ln (y)

2.1. Utilizando a Função Exponencial - Passo 1

Função exponencial e uma função na qual a variável (incógnita) se encontra no expoente.

A função exponencial pode ser escrita de forma geral ,exemplo ;

F : R → R * + tal que f (x) = ax , sendo que a R* + e a = 1 .

Essa representação significa : dada uma função dos reais para os reais positivos menos a zero ,sendo que a função exponencial terá base a onde a só podera assumir valores positivos diferentes de zero e diferentes de 1.

2.2 - Equação exponencial - Passo 2

f(x) = 2000*3^x

0 2000

1 6000

1,5 10392,305

2 18000

2,5 31176,915

3 54000

3,5 93530,744

4 162000

4,5 280592,23

5 486000

5,5 841776,69

Note no gráfico abaixo que houve um crescimento na cultura de microorganismos:

2.3. Gráfico Situação Problema 2 - Passo 3

Função Exponencial

Figura – Gráfico Situação Problema - 2

Fonte: THIAGO ALVES, 2011, p. x.

Meia Vida e Tempo de Duplicação - Passo 4

Meia Vida :

A meia vida e a quantidade de tempo característica de um decaimento exponencial.Se a quantidade que decai possui um valor do inicio do processo ,Na meia vida a quantidade terá metade deste valor.

Tabela 1: MEIA-VIDA DE ALGUNS ELEMENTOS [Ruiperez-78]

NUCLÍDEO MEIA-VIDA (T1/2)

Cs 137 30 anos

U 238 4,5x109

U 235 7,1x108

Co 60 5,26

Th 232 1,39x1010

Th 234 24

K 40 1,26x109

I 131 8

Hg 197 65

Tempo de Duplicação :

O tempo de geração ou duplicação varia grandemente entre microrganismo por exemplo em condições nutricionais e ambientais ótimas,a bactéria Escherrichia Coli pode ter um tempo de dupçlicação de somente 30 min.Algumas bactérias podem sofrer divisão celular mais rapidamente , mas a maior parte dividi-se com o tempo de duplicação de 1- 3 horas .Alem disso ,o tempo de geração/duplicação de um dado microorganismo depende da composição do meio de crescimento e de condições ambientais ,como a temperatura, ph,disponibilidade de água etc.Tempo de geração ou duplicação.

Calculo de tempo de geração ou duplicação ,g,de uma população microbiana em crescimento exponencial.

2.5. Utilização de Logaritmos - Passo 5

Os logaritmos possuem varias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento como ,Física ,Biologia Química ,Medicina,geografia entre outras.Logaritmo e uma das inversas da potenciação.E é usado sempre que precisamos saber um expoente dessa forma,qualquer utilização que precisa se descobrir o expoente e uma utilização dos logaritmos.Os logaritmos são muito utilizados na chamada matemática teorioca,para a explicação e o desenvolvimento de conceitos matemáticos alem do uso na matemática financeira para se descobrir o tempo de uma aplicação a juros compostos ,para se descobrir altitudes ,quantidades de radioatividade.

.

Exemplo 1:

Uma pessoa aplicou a importância de R$500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3.500,00?

Resolução:

As técnicas de logaritmos são imprescindíveis para a determinação do tempo e juros compostos.Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C* (1 + i)t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500

C (capital) = 500

i (taxa) = 3,5% = 0,035

t = ?

M = C*(1 + i)t

3500 = 500*(1+0,035)t => 3500/500 = 1,035t => 1,035t = 7

Aplicando logaritmo

log 1,035t = log 7

t* log 1,035 = log 7

t* 0,0149 = 0,8451

t = 0,8451/0,0149

t = 56,7

O montante de R$3.500,00 será originado após 56 meses de aplicação.

Etapa 3

Limites: propriedades e utilização

A Teoria dos Limites, tópico introdutório e fundamental da Matemática Superior, será vista aqui, de uma forma simplificada, sem aprofundamentos, até porque, o nosso objectivo nesta página, é abordar os tópicos ao nível do segundo grau, voltado essencialmente para os exames nacionais.

Portanto, o que veremos a seguir, será uma introdução à Teoria dos Limites, dando ênfase principalmente ao cálculo de limites de funções, com base nas propriedades pertinentes.

O estudo teórico e avançado, vocês verão na Universidade, no devido tempo.

Outro aspecto importante a ser comentado, é que este capítulo de LIMITES abordará o estritamente necessário para o estudo do próximo tópico: DERIVADAS. O matemático francês Augustin Louis CAUCHY - 1789/1857 , foi, entre outros, um grande estudioso da TEORIA DOS LIMITES. Antes dele, Isaac

NEWTON - inglês - 1642 /1727 e Gottfried Wilhelm LEIBNIZ - alemão - 1646 /1716 , já haviam desenvolvido o Cálculo Infinitesimal.

Definição:

Dada a função y = f(x), definida no intervalo real (a, b), dizemos que esta função f possui um limite finito L quando x tende para um valor x0, se para cada número positivo ε , por menor que seja, existe em correspondência um número positivo d , tal que :

| x - x0 | < δ ⇒ |f(x) - L | < ε , para todo x ≠ x0 .

Indicamos que L é o limite de uma função f( x ) quando x tende a x0 , através da simbologia abaixo:

lim f(x) = L

x->x0

Exercício:

Prove, usando a definição de limite vista acima, que:

lim (x + 5) = 8

x 3

Temos no caso:

lim f(x) = x + 5 = 3 +5 = 8

x0 3

L = 8.

Com efeito, deveremos provar que dado um ε > 0 arbitrário, deveremos encontrar um δ > 0, tal que, para |x – 3| < δ, se tenha |(x + 5) - 8| < ε. Ora, |(x + 5) – 8| < ε é equivalente a | x – 3 | < ε .

Portanto, a desigualdade |x – 3| < δ , é verificada, e neste caso δ = ε . Concluímos então que 8 é o limite da função para x tendendo a 3.

O cálculo de limites pela definição, para funções mais elaboradas, é extremamente laborioso e de relativa complexidade.

Assim é que, apresentaremos as propriedades básicas, sem demonstrá-las e, na sequência, as utilizaremos para o cálculo de limites de funções Antes, porém, valem as seguintes observações preliminares:

a) É conveniente observar que a existência do limite de uma função, quando x x0 , não depende necessariamente que a função esteja definida no ponto x0 , pois quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quanto queiramos do ponto x0 , porém não coincidente com x0, ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto x0 .

Para exemplificar, consideremos o cálculo do limite da função abaixo, para x 3.

Observe que para x = 3 a função não é definida. Entretanto, lembrando que

X 2– 9 = (x + 3) (x - 3), substituindo e simplificando, a função fica igual a f (x) = x + 3, cujo limite para x 3 é igual a 6, obtido pela substituição directa de x por 3.

b) O limite de uma função y = f (x), quando x Є x 0, pode inclusive, não existir, mesmo a função estando definida neste ponto x0 , ou seja , existindo f(x0).

c) Ocorrerão casos nos quais a função f(x) não está definida no ponto x0, porém existirá o limite de f(x) quando x ≠ x0 .

d) Nos casos em que a função f(x) estiver definida no ponto x0 , e existir o limite da função f(x) para x ≠ x0 e este limite coincidir com o valor da função no ponto x0, diremos que a função f(x) é contínua no ponto x0 .

e) Já vimos a definição do limite de uma função f(x) quando x tende a x0 , ou x ≠ x0. Se x tende para x0, para valores imediatamente inferiores a x0 , dizemos que temos um limite à esquerda da função. Se x tende para x0 , para valores imediatamente superiores a x0 , dizemos que temos um limite à direita da função. Pode-se demonstrar que se esses limites à direita e à esquerda forem iguais, então este será o limite da função quando x x0 .

3.1. Propriedades operatórias dos limites

P1 – O limite de um soma de funções, é igual à soma dos limites de cada função : lim ( u + v + w + ... ) = lim u + lim v + lim w + ...

P2 – O limite de um produto é igual ao produto dos limites. lim (u . v) = lim u . lim v .

P3 – O limite de um quociente de funções, é igual ao quociente dos limites. lim (u / v) = lim u / lim v , se lim v ≠ 0.

P4 – Sendo k uma constante e f uma função, lim k . f = k . lim f

Observações: No cálculo de limites, serão consideradas as igualdades simbólicas, a seguir, envolvendo os símbolos de mais infinito ( + ∞ ) e menos infinito ( - ∞ ), que representam quantidades de módulo infinitamente grande. É conveniente salientar que, o infinitamente grande, não é um número mas sim, uma tendência de uma variável, ou seja: a variável aumenta ou diminui, sem limite. Na realidade, os símbolos + ∞ e - ∞ , não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico. Dado b Є R - conjunto dos números reais, teremos as seguintes igualdades simbólicas:

b + (+ ∞ ) = + ∞

b + ( - ∞ ) = - ∞

(+ ∞) + (+ ∞ ) = + ∞

(- ∞ ) + (- ∞ ) = - ∞

(+ ∞ ) + (- ∞ ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo ∞ - ∞ , é dito um símbolo de indeterminação.

(+ ∞ ) .(+ ∞ ) = + ∞

(+ ∞ ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

∞ / ∞ = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

No cálculo de limites de funções, é muito comum chegarmos a expressões indeterminadas, o que significa que, para encontrarmos o valor do limite, teremos que levantar a indeterminação, usando as técnicas algébricas. Os principais símbolos de indeterminação, são:

∞ - ∞

∞ . 0

∞/ ∞

∞ 0

1∞

3.1. 1.Limites fundamentais

A técnica de cálculo de limites, consiste na maioria das vezes, em conduzir a questão até que se possa aplicar os limites fundamentais, facilitando assim, as soluções procuradas. Apresentaremos a seguir, sem demonstrar, cinco limites fundamentais e estratégicos, para a solução de problemas.

3.1. 2 Primeiro limite fundamental: O limite trigonométrico

Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma: seja x um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x = 0,0001 rad. Nestas condições, o valor de sen x será igual a sen 0,0001 = 0,00009999 (obtido numa calculadora científica).Efectuando-se o quociente, vem: sen x / x = 0,00009999 / 0,0001 = 0,99999 » 1.

Quanto mais próximo de zero for o arco x, mais o quociente (sen x) / x se aproximará da unidade, caracterizando-se aí, a noção intuitiva de limite de uma função.

Exercício:

Observe o cálculo do limite abaixo:

Lim sen 5x =lim 5.sen.5x =5.limsen 5x =5.lim sen u = 5.1= 5

x 0 x x 0 5x x 0 5x u 0 u

Observe que fizemos acima, uma mudança de variável, colocando 5x = u, de modo a cairmos num limite fundamental. Verifique também que ao multiplicarmos numerador e denominador da função dada por 5, a expressão não se altera. Usamos também a propriedade P4 vista no início do texto.

3.1. 3 Noção intuitiva de limite

Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

xy = 2x + 1 1,5 4 1,33,6 1,1 3,2 1,053,1 1,02 3,04 1,013,02 x y = 2x + 1 0,52 0,7 2,4 0,92,8 0,95 2,9 0,982,96 0,99 2,98

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja,quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja:

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.

De forma geral, escrevemos:

se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x) b).

Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x 1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.

Escrevemos:

Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.

3.1. 4 Limites envolvendo infinito

Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.

Exemplo:

a) , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.

b) , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.

c) , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.

d) , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito

Limite de uma função polinomial para

Seja a função polinomial . Então:

Demonstração:

Mas:

Logo:

De forma análoga, para , temos:

Exemplos:

3.1. 5 -Limites trigonométricos

Demonstração:

Para , temos sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:

Invertendo, temos:

Mas:

•

• g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se , então, . Logo,

Limites

3.1.6-Limites exponenciais

Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818.

Veja a tabela com valores de x e de .

x123101001 00010 000100 000 22,252,37032,59372,70482,71692,71812,718

Notamos que à medida que .