MULTIPLICADORES DE LAGRANGE E APLICAÇÕES
Por: Kevin Soares • 5/7/2022 • Trabalho acadêmico • 871 Palavras (4 Páginas) • 163 Visualizações
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ENGENHARIA MECÂNICA DISCIPLINA CÁLCULO II
RESUMO – MULTIPLICADORES DE LAGRANGE E APLICAÇÕES
AUTORIA:
Emily Aparecida Soares de Mello emilymelloh2011@gmail.com
Kevin Soares dos Santos Kevinsuarez1949@gmail.com
INTRODUÇÃO
Matematicamente, o termo otimização refere-se ao estudo de problemas em que se busca minimizar ou maximizar uma função através da escolha sistemática dos valores de variáveis reais dentro de um conjunto viável. Alguns problemas de otimização apresentam restrições que não conseguem ser contornadas facilmente simplesmente explicitando uma variável e colocando em função de outra e é aí que entram os Multiplicadores Lagrange (MARCHAND,2016). Basicamente o método dos Multiplicadores de Lagrange converte problemas de otimização com restrição em problemas sem restrição, através da inserção de um novo parâmetro chamado de Multiplicador de Lagrange ( λ) que permitirá encontrar os máximos e os mínimos de uma função.
O presente resumo tem como objetivo investigar diferentes aplicações dos Multiplicadores de Lagrange e contribuir para a troca de informações entre os alunos da disciplina de Cálculo II ministrada pelo Drº. Werley Gomes Facco, professor do IFES - Campus São Mateus.
INVESTIGAÇÃO
O método dos Multiplicadores de Lagrange foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange, (Turim, 25 de janeiro de 1736 - Paris, 10 de abril de 1813), um grande matemático italiano que deu grandes contribuições à matemática e à física. Segundo Marchand (2016), partindo da suposição que f e g sejam funções definidas e tenham derivadas parciais contínuas num subconjunto D consistindo inteiramente em pontos interiores. Suponha que, em cada ponto (x, y, z) em D, pelo menos uma das três derivadas parciais g’(x, y, z), g’’(x, y, z) e g’’’(x, y, z) seja diferente de zero. Logo os pontos (x, y, z) em D, nos quais f tem extremos relativos, sujeito à restrição g(x, y, z)
= k, sendo k uma constante, podem ser determinados da seguinte forma:
Seja a função L definida por L(x, y, z) = f(x, y, z) + λg(x, y, z) para (x, y, z) em D e λ (Multiplicador de Lagrange) uma constante a ser determinada. Então, resolvendo o sistema de equações
𝛿𝐿
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𝛿𝑥
𝛿𝐿
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𝛿𝑦
𝛿𝐿
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𝛿𝑧
𝛿𝐿
[pic 6]
𝛿𝜆
= 0
= 0
= 0
= 𝑘
para x, y, z e λ, diversas soluções podem ser obtidas, nos dando condições necessária para que um ponto (x, y, z) seja um extremo de f.
A aplicação deste teorema tem contribuído fortemente com o avanço de pesquisas e otimizações em diversas áreas que abrangem modelos matemáticos e apresentam restrições em problemas de otimização. Prescott (2014), por exemplo, aplicou o presente teorema para resolver problemas de otimização em economia e mostrar importantes sugestões e conclusões geradas sobre o comportamento econômico do consumidor. O economista, normalmente, não está interessado em encontrar o valor ótimo restrito, mas sim nas consequências da otimização, ou seja, o problema não é encontrar o mínimo, mas assumindo que o mínimo é alcançado, levanta-se a questão: quais consequências podem ser deduzidas?
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