Matematica Aplicada: Conceito de Derivada

Conceito de Derivada:

O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma funçãovariando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Para entendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a definição matemática da derivada de uma função em um ponto:

Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f

Em x0, denotada por f’ (x0), é dada por: f’(x_0)=〖lim〗_(h→0) (f(x_0+∆x)-f(x0))/∆x

Se este limite existir. Dx representa uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando x=x_0+∆x (∆x=x-x_0), a derivada de f em x0 pode também se expressa por:

f’(x_0)=〖lim〗_(h→0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)

Calculo de Derivação da função f(x)=7x

f’(x)=〖lim〗_(h→0) (f(x+h)-f(x))/h=

f’(x)= 〖lim〗_(h→0) (7.(x+h)-7x)/h

〖lim〗_(h→0) (7x+7h-7x )/h=7x/h =7

F’ (x)= 7

Exemplos de taxa de variação:

Taxa de variação média da produção para o intervalo de tempo das 3h00 até as 4h00

taxa de variação média= (variação em P)/(variação em X )= ∆P/∆x= tonelada/hora = ton/h

taxa de variação média de f(x) no intervalo de 3 até 4 = (f(4)-f(3))/(4-3)= 4^(2-3^2 )/1 = 16 - 9= 7 ton/h

Taxa de variação instantânea formula:

F(x)= 〖lim〗_(h→0) (f(x+h)-f(x))/h=

exemplo de taxa de variação instantânea:

f(x)= x^2

TVI p/x= 5h

h= 0,1

(f(5+0,1)-f(5))/0,1 = (f(5+0,1)-f(5))/0,1 =

〖5,01〗^(2- 5^(2 ) )/0,1= (26,01-25)/0,1 = 1,01/0,1 = 10,1

Bibliografia:

http://www.somatematica.com.br/superior/derivada.php

http://pt.slideshare.net/ctlauand/derivada-regra-geral-com-exercicios

http://www.youtube.com/watch?v=Kxm1YYGHej4