Matematica Aplicada III

ANHANGUERA EDUCACIONAL

FACULDADE ANHAGUERA

Ciencia da Computacao

MATEMATICA APLICADA III

Anapolis

2014

MATEMATICA APLICADA III

5‹ Periodo.

Orientador(a):

Anapolis

2014

INTRODUCAO

A Introduzo nesta pesquisa os assuntos de calculo integral, sequencias e series, com aplicacoes voltadas para a computacao.

Cada tema foi constituido por suas explicacoes e exemplos com aplicacoes.

Foi acrescentado uma abordagem de pesquisa relacionada a computacao ao fim dos temas em relacao a aplicacao de tais no meio da computacao.

Todos as pesquisas foram feitas na Internet que constam na referencia.

CALCULO

Calculo Diferencial e Integral, tambem chamado de calculo infinitesimal, ou simplesmente Calculo, e um ramo importante da matematica, desenvolvido a partir da Algebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variacao de grandezas (como a inclinacao de uma reta) e a acumulacao de quantidades (como a area debaixo de uma curva ou o volume de um solido). Onde ha movimento ou crescimento e onde forcas variaveis agem produzindo aceleracao, o calculo e a matematica a ser empregada.

O calculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em varias areas das ciencias exatas. Desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes. O Calculo auxilia em varios conceitos e definicoes na matematica, quimica, fisica classica, fisica moderna e economia. O estudante de calculo deve ter um conhecimento em certas areas da matematica, como funcoes, geometria e trigonometria, pois sao a base do calculo. O calculo tem inicialmente tres "operacoes-base", ou seja, possui areas iniciais como o calculo de limites, o calculo de derivadas de funcoes e a integral de diferenciais.

A integral indefinida tambem pode ser chamada de antiderivada, uma vez que e um processo que inverte a derivada de funcoes. Ja a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, estabelece limites de integracao, ou seja, e um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida.

Com o advento do "Teorema Fundamental do Calculo" estabeleceu-se uma conexao entre os dois ramos do calculo: o Calculo Diferencial e o Calculo Integral. O calculo diferencial surgiu do problema datangente, enquanto o calculo integral surgiu de um problema aparentemente nao relacionado, o problema da area. O professor de Isaac Newton em Cambridge, Isaac Barrow, descobriu que esses dois problemas estao de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivacao e a integracao sao processos inversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relacao e a utilizaram para transformar o calculo em um metodo matematico sistematico. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular areas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessario calcula-las como limites de soma (metodo descrito pelo matematico Riemann, pupilo de Gauss).

HISTORIA

A historia do calculo encaixa-se em varios periodos distintos, de forma notavel nas eras antiga, medieval e moderna.

ANTIGUIDADE

Na Antiguidade, foram introduzidas algumas ideias do calculo integral, embora nao tenha havido um desenvolvimento dessas ideias de forma rigorosa e sistematica. A funcao basica do calculo integral, calcular volumes e areas, pode ser remontada ao Papiro Egipcio de Moscou (1850 A.C.), no qual um egipcio trabalhou o volume de um frustum piramidal. Eudoxo de Cnido, ou Eudoxus, (408-355 a.C.) usou o metodo da exaustao para calcular areas e volumes. Arquimedes (287-212 a.C.) levou essa ideia alem, inventando a heuristica, que se aproxima do calculo integral. O metodo da exaustao foi redescoberto na China por Liu Hui no seculo III, que o usou para encontrar a area do circulo. O metodo tambem foi usado por Zu Chongzhiseculo V, para achar o volume de uma esfera.

IDADE MEDIA

Na Idade Media, o matematico indiano Aryabhata usou a nocao infinitesimal em 499 d.C. expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equacao diferencial basica. Essa equacao levou Bh.skara II no seculo XII a desenvolver uma derivada prematura representando uma mudanca infinitesimal, e ele desenvolveu tambem o que seria uma forma primitiva do "Teorema de Rolle".

No seculo XII, o matematico persa Sharaf al-Din al-Tusi descobriu a derivada de polinomios cubicos, um resultado importante no calculo diferencial. No seculo XIV, Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matematicos-astronomos da Escola Kerala de Astronomia e Matematica, descreveu casos especiais da Serie de Taylor, que no texto sao tratadas como Yuktibhasa.

IDADE MODERNA

Na Idade Moderna, descobertas independentes no calculo foram feitas no inicio do seculo XVII no Japao por matematicos como Seki Kowa, que expandiu o metodo de exaustao. Na Europa, a segunda metade do seculo XVII foi uma epoca de grandes inovacoes. O Calculo abriu novas oportunidades na fisica-matematica de resolver problemas muito antigos que ate entao nao haviam sido solucionados. Muitos matematicos contribuiram para essas descobertas, notavelmente John Wallis e Isaac Barrow. James Gregory proveu um caso especial do segundo teorema fundamental do calculo em 1668.

Coube a Gottfried Wilhelm Leibniz e a Isaac Newton recolher essas ideias e junta-las em um corpo teorico que viria a constituir o calculo. A ambos e atribuida a simultanea e independente invencao do calculo. Leibnitz foi originalmente acusado de plagiar os trabalhos nao publicados de Isaac Newton; hoje, porem, e considerado o inventor do calculo, juntamente com Newton. Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o calculo a fisica ao passo que Leibniz desenvolveu a notacao utilizada ate os dias de hoje, a notacao de Leibniz. O argumento historico para conferir aos dois a invencao do calculo e que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do calculo.

Gottfried Wilhelm Leibniz: o inventor do calculo, juntamente com Newton.

Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados, houve uma grande controversia de qual matematico