Matematica Aplicada III

Capítulo 7

APLICAÇÕES DA INTEGRAL

DEFINIDA

7.1 Aceleração, velocidade e posição

A relação entre aceleração, velocidade e a posição de uma partícula pode ser obtida utilizando

diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo.

Suponhamos que uma partícula move-se ao longo do gráfico da função com segunda derivada

contínua x = x(t) com velocidade v = v(t), de classe C1 e aceleração, a = a(t) em cada instante

t.

A aceleração da partícula é: a(t) =

dv

dt

. Pelo Teorema:

Z t

t0

a(s) ds =

Z t

t0

dv

ds

ds = v(t) − v(t0);

então:

(1) v(t) =

Z t

t0

a(s) ds + v(t0).

Logo, conhecendo a aceleração e a velocidade inicial da partícula, podemos obter a velocidade

em cada instante t. A velocidade da partícula é: v(t) =

dx

dt

. Pelo Teorema:

Z t

t0

v(s) ds =

Z t

t0

dx

ds

ds = x(t) − x(t0);

então:

(2) x(t) =

Z t

t0

v(s) ds + x(t0).

D(t) = x(t) − x(t0) é chamado o deslocamento da partícula. Logo, conhecendo a velocidade

e a posição inicial da partícula, podemos obter sua posição em cada instante t. Um dos movimentos

mais simples é quando a partícula tem aceleração constante: a(t) = a0, para todo t. É

comum nas aplicações considerar que o tempo inicial seja t0 = 0. Denotando a velocidade e

posição inicial respectivamente por v(0) = v0 e x(0) = x0, obtemos:

De (1): v(t) =

Z t

0

a0 ds = a0 t + v0 e de (2): x(t) =

Z t

0

v(s) ds + x0 =

Z t

0

(a0 t + v0) ds + x0.

Logo,

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288 CAPÍTULO 7. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA

x(t) =

a0

2

t2 + v0 t + x0.

Neste caso, conhecendo a velocidade