Matematica Financeira

UNIP ICET

Fundamentos de Matemática Financeira

FEV/2009

I Conceitos Fundamentais

Aspectos envolvidos :Valor Presente (PV) ou Principal (P)

Valor Futuro (FV) ou Montante (M)

Prazo (n)

Fator de Variação (FDV)

Juros (J)

Taxa de Juros (i)

Considere a situação abaixo para a compreensão dos conceitos :

Aplicou-se R$ 1.000,00 por um prazo de 30 dias, ou 1 mês, remunerado a 3% ao mês. Vencido o prazo

de aplicação, resgatou-se R$ 1.030,00.

Fator de Variação

Fórmula : FDV = FV / PV => Variação entre os valores

No exemplo : FDV = R$ 1.030,00 / R$ 1.000,00 = 1,030

Juros (J)

Fórmula : J = FV – PV

No exemplo : J = R$ 1.030,00 – R$ 1.000,00 = R$ 30,00

Taxa de Juros (i)

Fórmula : i = (J / PV) * 100 = ((FV – PV) / PV) * 100

No exemplo : i = ((R$ 1.030,00 - R$ 1.000,00) / R$ 1.000,00) * 100 = 3%

Juros Simples (Js)

Fórmula : Js = PV * i * n

No exemplo : Js = R$ 1.000,00 * 0,03 * 1 = R$ 30,00

Note-se que se i é dado em mês, n deve estar na mesma base.

Note-se também que i deve ser considerada em número puro e não

em percentual, portanto, i = 3% = 3 / 100 = 0,03.

Montante (M) ou Valor Futuro (FV)

Fórmula : M = P + J, ou

M = P + (P * i * n), então

M = P * (1 + i * n)

No exemplo : M = R$ 1.000,00 * (1 + 0,03 * 1) = R$ 1.000,00 * 1,03 = R$ 1.030,00

Considerações

As taxas de juros (i) são sempre expressas por unidade de tempo. Portanto, devem estar em

consonância com a unidade de tempo do prazo (n).

Por exemplo : 10% ao ano por um prazo de 15 anos; 2% ao mês por um prazo de 6 meses.

Freqüentemente é necessário converter ou a taxa ou o prazo.

Por exemplo : 10% ao ano durante 18 meses. Considere n = 18 meses / 12 meses = 1,5 ano ou

i = 10% ao ano / 12 meses = 0,8334% ao

mês

Outro exemplo: 2% ao mês durante 10 dias. Considere n = 10 dias / 30 dias = 0,334 mês ou

i = 2% ao mês / 30 dias = 0,0667% ao dia.

Exemplo : Empresta-se R$ 2.000,00 a uma taxa de 8% ao ano (a.a), durante 30 meses. Qual é o

montante no final do período ?

PV = R$ 2.000,00; i = 8% a.a.; n = 30 meses; M = ?

Consideração 1 : Transformar i de % para número puro => i = 8 / 100 = 0,08

Consideração 2 : Transformar i anual para mensal => i = 0,08 / 12 = 0,00667 a.m.

ou transformar n mensal para anual => N = 30 / 12 = 2,5 anos

(1) => M = PV * (1 + i * n) = R$ 2.000,00 * (1 + 0,00667 * 30) = R$ 2.400,00

(2) => = R$ 2.000,00 * (1 + 0,08 * 2,5) = R$ 2.400,00

Exercícios de Juros Simples

1 Bereba recebeu R$ 2.500,00 e vai aplicá-la por três meses, à taxa de 10% ao mês (a.m.). Qual o

juro ao final do período ?

2 Seo Expedito aplicou R$ 5.000,00 por 1 ano e resgatou R$ 5.400,00. Qual a taxa de juro anual ?

3 Manguaça, movido por um impulso etílico-empreendedor, tomou emprestado de um parceiro

R$ 100.000,00 para abrir um boteco. Aceitou pagar 720% ao ano por um prazo de 320 dias.

Qual o juro da operação ?

4 Dona Dondinha necessita fazer uma lipo. Pegou sua economia de R$ 800,00 e deu uma de

agiota iniciante emprestando para Dona Cotinha à taxa de 12% ao ano. Depois de um tempo,

após umas bifas, Cotinha pagou exatos R$ 1.184,00. Quanto tempo Dona Cotinha demorou para

quitar sua dívida ?

5 Dona Dondinha, do exercício anterior, percebeu que terá que triplicar o valor recebido da

Cotinha (R$ 1.184,00) para poder fazer a tal lipo. Resolveu então emprestar para outra amiga,

Dona Belinha, à taxa de 18% ao mês. Depois de quanto tempo Dondinha terá que dar umas

bifas na Belinha para receber seu montante triplicado ?

II Juro Exato e Juro Comercial

Juro comercial considera o ano com 360 dias e cada mês com 30 dias.

Já o juro exato considera o ano com 365 dias.

Desconto Simples

Composto por dois tipos de descontos :

Desconto Racional (“por dentro”) – Taxa de juros incide sobre o valor atual do título.

Desconto Comercial (“por fora”) - Taxa de Juros incide sobre o valor nominal do título (Mais

utilizado no sistema financeiro).

Entende-se como Valor Líqüido a diferença entre o Valor Nominal e o desconto.

Nomenclatura : VN = Valor nominal do título

VA = Valor atual do título líqüido ou descontado

n = Período

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