Métodos Numéricos de Equações Diferenciais

Universidade do Estado do Rio de Janeiro[pic 1]

 Instituto Politécnico do Rio de Janeiro

Trabalho 1

Métodos Numéricos de Equações Diferenciais I

Professor: Grazione de Souza

Grupo 5:

Johann Maurer Santana
Matthaus Eugen Lindenblatt

Data de entrega: 06/06/2016

Sumário

1 Resumo1

2 Introdução 2

3 Desenvolvimento3

3.1 Método Runge-Kutta 3

3.2 Metodologia Computacional4

4 Resultados5
5 Conclusão10
6 Bibliografia11
7 Anexo12

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Resumo

Neste trabalho contém a realização de uma proposta que visa a identificar os valores de concentração de cada reator ao longo do tempo de um sistema por meio do Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem, utilizando um programa computacional. Com os resultados obtidos, variando o número do passo e de iterações, podemos compara-los com os resultados obtidos na solução analítica.

Introdução

Para a engenharia, reatores químicos são vasos projetados para isolar reações químicas em grandes escalas industriais. Em um projeto de um reator químico, os engenheiros trabalham para obter o máximo de otimização no rendimento do produto e o mínimo de custos para serem comprados e gerados. As despesas normais para a operação de um reator incluem uma fonte de energia, remoção de energia, custos de matéria prima e trabalho humano.

Assim, para ajudar nesse estudo, foi realizado uma proposta para ser analisado o quanto de produto acumulado e a sua concentração no reservatório ao longo do tempo em dois reatores, que foram calculados com o auxilio de um programa e utilizando o Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem.

Desenvolvimento

Solução Numérica

Nesta parte do relatório será apresentada a forma na qual será resolvido o problema do método de Runge-Kutta.

• Método de Runge-Kutta

Em 1900, os matemáticos C. Runge e M. Kutta criaram uma família metodologia de solução de equações diferenciais ordinárias utilizada até hoje. Dentro desse grupo encontra-se o método de Runge-Kutta de Quarta Ordem.

        O método de Runge-Kutta é um dos mais populares. Esse método é bem preciso para obter soluções aproximadas de valor inicial comparando polinômios de Taylor para eliminar o cálculo das derivadas.

        Com os valores iniciais dados, os cálculos necessários para a obtenção da aproximação serão,

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Sendo

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                            (3)[pic 4]

                            (4)[pic 5]

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• Metodologia Computacional 

O software utilizado para os cálculos na proposta foi o scilab 6.0.0 – Windows 64 bits, que nos fornece um ambiente necessário para as aplicações cientificas para a proposta realizada.

Processador: Intel (R) core (TM) i3 CPU M380 @2.53GHz

Memória instalada RAM: 4GB (utilizável: 3,80)

Tipo de sistema: Sistema operacional de 64 Bits

Versão do Windows: Windows 7 Enterprise  

Resultados

Nesta secção será apresentada os resultados obtidos alterando os valores do passo h, e nas iterações n. Com isso analisar como os reatores c1 e c2 se comportam junto com a solução analítica.

Com os dados já fornecidos, temos a seguinte tabela:

Tabela 1

A	B	C	Cin	C01	C02
0,35	9	0,5	30	17	5

Em primeira analise se apresenta uma tabela 2 com as concentrações do reator 1 (c1), reator 2 (c2) e a solução analítica (analítica) com o valor de passo h = 0.5 e n = 10.

Tabela 2

Tempo (h)	C1	C2	Analítica
0.0	17.0	5.0	17.0
0.5	19.087041	11.883074	19.087059
1.0	20.839026	17.6656	20.839055
1.5	22.309744	22.523273	22.30978
2.0	23.54435	26.603799	23.544391
2.5	24.580751	30.031343	24.580794
3.0	25.450766	32.910268	25.450809
3.5	26.181108	35.328287	26.18115
4.0	26.794199	37.359112	26.794239
4.5	27.308863	39.064681	27.308902
5.0	27.740903	40.497041	27.740939

Agora se monstra o comportamento das funções c1, em vermelho ,junto com a solução analítica, em amarelo e em azul tem se o comportamento de c2.

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Como se pode ver a o reator 1 (c1) se aproxima muito dos valores obtidos pela solução analítica com variações nas casas decimais.