O Comprimento de Flambagem

Objectivos:

Objectivo geral

Apresentar os passos suprimidos do exercício proposto.

Objectivo específico

• Calcular a força admissível na coluna usando o caminho de Euler.
• Calcular a tensão normal causada pela força admissível.  
• Calcular o desvio horizontal e a tensão normal máxima na parte superior da coluna causada pela força admissível

Introdução

Neste trabalho abordaremos o comportamento de uma coluna engastada por baixo e livre por cima quando lhe é aplicada uma carga axial no eixo geomértrico.

O exercício proposto apresenta-nos o fenômeno da flambagem. De uma forma mais simples a flambagem é definida como o valor da carga aplicada que provoca o fenômeno da mudança do estado de equilíbrio estável para o instável.

    [pic 1]                                  [pic 2]

Dados do problema

A coluna uniforme AB, com 2,4 m de comprimento, consiste em um tubo estrutural  com a secção transversal mostrada na figura. (a) usando a fórmula de Euler e um coeficiente de segurança igual a 2, determine a força centrada admissível para a coluna e a tensão normal correspondente. (b) considerando que a força admissível, encontrada na parte a, é aplicada conforme mostra a figura em um ponto distante 19 mm do eixo geométrico da coluna, determine a deflexão horizontal do topo da coluna e a tensão normal máxima na coluna. Use E = 200 GPa. [pic 3]

[pic 4]

Resolução e discussão dos resultados

Solução

Pelo exercício proposto utilizaremos a equação de Euler que culminará com a resolução do mesmo, e ainda demonstrar todos os caminhos até chegar a força crítica e a equação da secante.

Dados

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Comprimento de flambagem:

Em função do tipo de fixação das suas extremidades, a peça apresenta diferentes comprimentos livres de flambagem.

Como a coluna tem uma extremidade engastada e outra livre, seu comportamento de flambagem é:

[pic 9]

 [pic 11][pic 10]

Força ou Carga crítica:

Denomina-se carga critica, a carga axial que faz com que a peça venha a perder a sua estabilidade, demonstrada pelo encurvamento na direção do eixo longitudinal.

A carga crítica para uma coluna ideal ou peças carregadas axialmente é conhecida como a carga de flambagem de Euler, devido ao famoso matemático suíço Leonhard Euler (1707- 1783), que foi o primeiro a estabelecer uma teória de flambagem para colunas.

Dedução da força crítica:

Uma carga é aplicada numa coluna e causa um embarregamento ou curvamento da coluna num dos lados, e só acontece quando P>Pcr.

Também sabemos que a viga tem um momento interno e este momento no ponto (a) é igual a zero:;    ; então nós temos o momento e a carga P e a deflexão no ponto (a) sera igual á:  =>; [pic 12][pic 13][pic 14]

Onde:

M= momento

P= carga

V= deflexão

A partir da equação da deflexão de segunda ordem em função a X é:

[pic 15]

Isto é dado no ponto da barra (a); substituindo o valor do momento na equação de deflexão teremos:[pic 16][pic 17]

E pela equação da diferencial temos:  isolando a deflexão teremos: ;[pic 18][pic 19]

Vamos chamar o coeficiente  => ; esta equação obedece a seguinte fórmula:  e depois aplicando as condições:[pic 20][pic 21][pic 22]

Quando x=0; isto é na parte onde é aplicada a carga a coluna a deflexão é zero.

x=0 => V=0; indo na equação:

 [pic 23]

  [pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

E quando x=L => V=0 nesta condição também não há delexão.

E aplicando novamente na equação:

  => ; [pic 28][pic 29]

Como x=L emitindo a parte   a equação fica:  e  sempre diferente de zero, então  onde depois  e ainda  => [pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

Isolando P sera:  =>   => [pic 37][pic 38][pic 39]

Onde: k representa o numero de ondulações ou curvas da coluna, que pode ser k=1, 2, 3 e que nos indica a força critica que existe numa coluna flambada:

  =>  [pic 40][pic 41]

Força crítica. Usando a fórmula de Euler, escrevemos:

[pic 42]

1. Força e tensão admissíveis. Para um coeficiente de segurança igual a 2 temos:

[pic 43]

e

[pic 44]

[pic 45]

Carregamento excêntrico e fórmula da secante

Nesta seção será abordado o problema de flambagem de coluna de uma maneira diferente, observando que a força P aplicada a uma coluna nunca é perfeitamente centrada. Chamando de e a excentricidade da força, isto é, a distância entre a linha de ação de P e o eixo da coluna. Substituímos a força excêntrica dada por uma força centrada P e um momento MA =Pe. Está claro que, não importa o tamanho da força P e a excentricidade e, o momento MA resultante sempre provocará alguma flexão na coluna.

[pic 46]

À medida que aumenta a força excêntrica, tanto o momento MA quanto a força axial P também aumentam, e ambos farão a coluna flexionar ainda mais. Visto dessa maneira, o problema de flambagem não é uma questão de determinar por quanto tempo a coluna pode permanecer recta e estável sob uma força cada vez maior, mas sim quanto se pode permitir que a coluna flexione sob uma força cada vez maior, sem que a tensão admissível seja ultrapassada e sem que a defl exão ymáx se torne excessiva.

Primeiro escrevemos e resolvemos a equação diferencial da linha elástica, adotando o mesmo procedimento que usamos anteriormente nas Seções 10.3 e 10.4. Desenhando o diagrama de corpo livre de uma parte AQ da coluna e escolhendo os eixos de coordenadas mostrados na Fig. 10.21, concluímos que o momento flector em Q