O Conjunto de pontos isolados

Introdução

Informalmente, uma rede é um "conjunto de pontos isolados", um dos quais é a origem, e este "ponto Conjunto ... parece o mesmo não importa de qual de seus pontos você observá-lo "[8]. O estudo de É interessante por si só e tem levado a soluções para problemas em outros ramos da matemática. Nosso principal objetivo aqui será discutir dois teoremas baseados em geometria de ponto de rede, Teorema de Pick e Teorema de Minkowski. Ambos os teoremas nos permitem descrever as relações Entre a área de um polígono no plano e o número de pontos de rede.O polígono contém, ambos se estendem a dimensões mais altas, e ambos têm aplicações importantes,Variando de soluções a problemas aplicados a provas de teoremas importantes em Teoria dos Números. Seja L um reticulado e seja P um polígono no plano com seus vértices nos pontos em O Teorema de L. Pick nos permite determinar a área de P com base no número de redes Pontos, pontos em L, vivendo dentro de P e o número de pontos de rede que vivem no limite Do Teorema de P. Minkowski nos permite ir na outra direção. Seja R uma região Em R2. O teorema de Minkowski garante que R contém um ponto de retículo se R satisfaz um conjunto de Requisitos estabelecidos pelo teorema. Vamos discutir Teorema de Pick e Teorema de Minkowski mais depois de uma breve introdução Para redes. Vamos então dar uma visão geral das medidas que teremos de tomar para provar Teorema de Pick e Teorema de Minkowski. Seguiremos este material introdutório com A maior parte do trabalho, uma discussão detalhada dos resultados necessários para provar o Teorema de Pick E o Teorema de Minkowski, bem como uma discussão das conseqüências desses dois teoremas.Antes de entrar nos detalhes dos principais teoremas do artigo, precisamos abordar A definição de uma rede em mais detalhe. Primeiro, damos uma definição mais formal de uma rede [8]:

Definição 1.1. Um conjunto, L, de pontos em Rn é uma rede se satisfizer as seguintes condições:

1. L é um grupo sob adição de vector.

2. Cada ponto em L é o centro de uma bola que não contém outros pontos de L.

O que exatamente essa definição formal significa geometricamente? Como é que esta definição Relacionadas à nossa definição informal? Considere os três gráficos na Figura 1. Os dois gráficos à esquerda são ambos gráficos de redes. Ambos são conjuntos de pontos isolados, E para ambos, os pontos em torno de qualquer ponto particular parecem os mesmos que os pontos ao redor Qualquer outro ponto. O gráfico à direita não é uma malha. Vamos discutir as razões pelas quais O conjunto mostrado neste gráfico à direita não é uma malha, e ao fazê-lo, vamos mostrar como A definição informal e a definição formal de uma rede estão relacionadas. Seja S o conjunto de pontos no gráfico à direita da Figura 1. Vamos agora dar vários Razões pelas quais S não é uma rede. Primeiro, observe a linha em S. Como S contém essa linha, S é Não um conjunto de pontos isolados, e S não satisfaz a condição dois de nossa definição formal.

[pic 1]

Figura 1: Os dois conjuntos graficados à esquerda e no centro são reticulados, enquanto o gráfico à direita não é.

Para ver por que, escolha um ponto na linha. Não há bola centrada nesse ponto que contenha Nenhum outro ponto em S. Em seguida, investigaremos a relação entre a condição 1 de nossa definição formal e A outra parte de nossa definição informal. Pela definição informal, se S é uma rede, a Conjunto de pontos em torno de qualquer ponto em S deve ser o mesmo que o conjunto de pontos em torno de qualquer Outro ponto em S. No entanto, S não cumpre este requisito, como os pontos em S ao redor O ponto (x1, x2) não se parece com os pontos em S ao redor do ponto (y1, y2). este

Violação da última exigência da nossa definição informal é também uma violação da condição 1 da definição formal. Para ver por que este é o caso, temos de investigar a condição 1 mais distante.

De acordo com a condição 1, para ser uma rede, o conjunto S deve ser um grupo sob o vetor Adição [8], ou seja, S deve satisfazer as seguintes condições [5]:

(A) S é fechado sob adição de vector.

(B) A adição de vector é associativa em S.

(C) S contém um elemento de identidade.

(D) S contém um elemento inverso para cada elemento de S.

Seja (x1, x2) e (y1, y2) pontos em S, e sejam x e y os vetores que originam Na origem com pontos de terminação em (x1, x2) e (y1, y2), respectivamente. A condição (a) requer Adição dos vetores xey para produzir um vetor cujo ponto final está em S. No entanto, a partir de O gráfico dos pontos em S (Figura 1), vemos que este não é o caso. O fato de que S é Não fechado em adição de vetores é outra razão pela qual S não é uma rede. A condição (b) é Automaticamente satisfeito desde que a adição do vetor é sempre associativa. Por condição (c), para S Para ser uma rede, S deve conter um elemento de identidade, e tal que e + v = v para todos os vetores V com pontos de extremidade em S. No entanto, sob adição de vetor, o vetor zero é a identidade elemento. Como S não contém a origem, S não contém nenhum elemento de identidade. Em geral, como Declarado na definição informal, uma rede deve conter a origem, dando-nos outra razão Por que S não é uma rede. A condição (d) exige que S contenha um elemento inverso. este É impossível uma vez que S não contém nenhum elemento de identidade. Se S tivesse um elemento de identidade, A origem, teríamos de verificar se para cada ponto p em S, -p está em S. Necessidade S para satisfazer esta condição porque o inverso de um ponto p em adição de vetor é -p dado que p - p = 0 em que p é o vector que emana da origem com ponto final p. Uma vez que S não contém um inverso para cada ponto em S, S viola todas as condições definidas Em nossa definição formal de uma rede diferente da parte (b) da condição um. Um conjunto não é Uma rede se viola mesmo uma das condições ou subcondições estabelecidas em nosso definição. Apenas um conjunto de pontos que satisfaça todas as condições de nossa definição formal É uma malha, e os conjuntos plotados nos dois gráficos à esquerda da Figura 1 satisfazem todos os Condições e são, portanto, reticulados.

Da definição de uma rede, é claro que existem vários exemplos de redes. Aqui Definimos um tipo específico de retículo, a retícula de inteiros:

Definição 1.2. Um ponto (x1, x2, ..., xn) 2 Rn é um ponto inteiro se x1, x2,. . . , Xn 2 Z. O Inteira, Zn, é o conjunto de pontos inteiros em Rn. (2 significa pertence)

Neste artigo, grande parte de nossa discussão girará em torno da retícula de dois inteiros, Z2.

[pic 2]

Portanto, ao longo de nossa discussão, quando nos referimos a uma rede, queremos dizer a retícula inteira Salvo indicação em contrário. Agora que temos algumas definições básicas em mãos, podemos discutir nossos objetivos Principais para este Papel em mais profundidade. Primeiro, abordaremos o Teorema de Pick. Considere um polígono P cuja Vértices situam-se em pontos de rede. Como mencionado acima, o Teorema de Pick nos permite determinar A área de P a partir do número de pontos de rede no limite de P, B (P) e Número de pontos de rede no interior de P, I (P). Mais especificamente, o Teorema de Pick Afirma o seguinte,