Definições e Axiomas da Teoria dos Conjuntos

Probabilidade e Estatística/Probabilidade

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Probabilidade e Estatística Introdução Fundamentos de probabilidade

Um dos ramos da matemática que é mais importante para a Estatística é a Teoria das Probabilidades. Esta teoria, por sua vez, está bastante embasada na Teoria dos Conjuntos. Este capítulo tem por objetivo explicar os fundamentos desta teoria.

Índice [esconder]

1 Definições e Axiomas da Teoria dos Conjuntos

2 Axiomas da Teoria das Probabilidades

3 Propriedades da Teoria das Probabilidades

4 Probabilidade Condicional

5 Eventos Independentes

6 Veja também

Definições e Axiomas da Teoria dos Conjuntos [editar]

O Espaço Amostral é um conjunto formado por todos os resultados possíveis em qualquer fenômeno aleatório. Ele é representado pela letra grega maiúscula (Ômega).

Evento é o nome que se dá à qualquer sub-conjunto do Espaço Amostral. Eles são representados por letras maiúsculas, como A, B, C, etc... O conjunto vazio é representado por Ø.

Por serem subconjuntos, é possível realizar a operação de união (U) entre conjuntos. A União de Eventos representa a ocorrência de um evento OU de outro.

Outra operação que pode ser feita sobre Eventos é a intersecção (∩). A intersecção de eventos representa a ocorrência de um E de outro.

Diz-se que dois eventos são Mutualmente Exclusivos ou Disjuntos quando eles não possuem nenhum elemento em comum entre si. Ou seja, a ocorrência de qualquer sub-evento que compõe um dos eventos automaticamente faz com que o outro não possa ocorrer. Ou ainda: Se A ∩ B = Ø , então A e B são Disjuntos.

Caso dois eventos sejam disjuntos, mas a sua união seja igual à todo o Espaço Amostral, significa que eles são complementares. Ou seja, eles são os únicos eventos possíveis de ocorrer. Ou ainda: Se A e B são Disjuntos e A U B = , então A e B são complementares. Ou ainda: Ac=B e Bc=A.

Axiomas da Teoria das Probabilidades [editar]

É possível designar à todo e qualquer evento uma Probabilidade. A Probabilidade é uma função que pode receber um evento qualquer e retornar um número real entre 0 e 1. Se a probabilidade de um evento é 0, o evento nunca irá ocorrer. Se a probabilidade é 1, então ele sempre ocorrerá. Na maioria das vezes, a função de probabilidade retorna um número entre 0 e 1. Quanto mais próximo de 0 é o valor, mais difícil é para o evento acontecer. E quanto mais próximo de 1, mais provável é a ocorrência de um evento. A Teoria das Probabilidades possui os seguintes axiomas:

1 - A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0 e 1. Ou seja:

2 - A Probabilidade de ocorrer algo dentro do Espaço Amostral é 1. Ou seja:

3 - A Probabilidade de ocorrer a união de todos os Pontos Amostrais é igual à soma da Probabilidade de ocorrer cada um dos Pontos Amostrais. Ou seja:

Propriedades da Teoria das Probabilidades [editar]

1 - A probabilidade de ocorrer um conjunto vazio pertencente ao conjunto de Pontos Amostrais é sempre zero. Este é um evento impossível. Ou seja:

P(Ø)=0

Ou seja, no lançamento de uma moeda, onde o Espaço Amostral é "Cara" ou "Coroa", é impossível que ocorra um resultado que não é nem um e nem outro.

2 - A probabilidade de qualquer subconjunto pertencente ao Conjunto Amostral pode ser calculada através da soma da probabilidade de seus elementos. Ou seja:

tal que A pertence ao Espaço Amostral e

Ou seja, no lançamento de um dado de 6 faces, a probabilidade de ocorrer 1 ou 2 é igual à P(1)+P(2).

3 - A probabilidade de que ocorra um evento é igual à 1