O Cálculo Numérico

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[pic 1]

[pic 2]

Supondo que todos os termos da diagonal principal (aii)  sejam diferentes de zero, a solução desse sistema satisfaz:

[pic 3]

Método de JACOBI

O método de Jacobi é um procedimento iterativo que consiste em adotar valores iniciais , que colocados no lado direito das equações anteriores fornecem . Estes novos valores realimentam as equações resultando numa seqüência , de soluções aproximadas que convergem para o valor verdadeiro .[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

Daremos um critério, chamado de “Critério das Linhas” que, se for satisfeito, implica na convergência do Método. Não poderemos concluir a afirmativa inversa. Isto, é, é falso dizer que “não satisfaz o Critério das Linhas então não converge”.

Pode haver sistemas em que o Método de Jacobi funcione porém não satisfaça o Critério das Linhas.

CRITÉRIO DAS LINHAS:

O valor absoluto do termo diagonal na linha 1 é maior do que a soma dos valores absolutos de todos os outros termos na mesma linha, e assim sucessivamente.

É importante observar que o Critério das Linhas pode deixar de ser satisfeito se houver troca na ordem das equações, e vice-versa: uma troca cuidadosa pode fazer com que o sistema passe a satisfazer o Critério.

EXEMPLO

Utilizando o Método de Jacobi, com os seguintes CRITÉRIOS DE PARADA: erro máximo admissível  ;  número máximo de iterações .[pic 8][pic 9]

Resolver o Sistema:

[pic 11][pic 10]

Valores Iniciais (vetor solução inicial) [pic 12]

Soluções:

[pic 13]

Para [pic 14] [pic 15]

Para [pic 16] [pic 17]

Para [pic 18] [pic 19]

Continuando as iterações para  e colocando-as em uma tabela, obtém-se:[pic 20]

[pic 21]	[pic 22]	[pic 23]	Erro [pic 24]	Erro [pic 25]	[pic 26]
0	0	0	----	----	----
1	0,5	1,5	0,5	1,5	1,5
2	1,25	1,25	0,75	0,25	0,75
3	1,125	0,875	0,125	0,375	0,375
4	0,9375	0,9375	0,1875	0,0625	0,1875
5	0,96875	1,03125	0,03125	0,09375	0,09375
6	1,015625	1,015625	0,046875	0,015625	0,046875
7	1,007813	0,992188	0,007813	0,023437	0,023437
8	0,996094	0,996094	0,011719	0,003906	0,011719
9	0,998047	1,001953	0,001953	0,005859	0,005859

Resposta: S = {(0,998;1,002)}

EXERCÍCIOS

Determinar a solução aproximada do sistema usando o Método de Jacobi com o critério de parada dado. Adote para todos os exercícios valores iniciais iguais a zero.

a)          [pic 28][pic 27]

Critério de Parada        Resp.: S = { (0,783;0,6963) }[pic 29][pic 30]

b)        [pic 32][pic 31]

Critério de Parada       Resp.:S ={ (1,9092;3,1949;5,0448) }[pic 33][pic 34]

c)        [pic 36][pic 35]

Critério de Parada        Resp.: S = { ( 3,88 ; 2,33 ) }[pic 37][pic 38]

d)        [pic 40][pic 39]

Critério de Parada        Resp.: S = { (1;0,999;0,998) }[pic 41][pic 42] Obs.: achar os valor aproximados, melhorando a resposta.

e)        [pic 44][pic 43]

Critério de Parada        Resp.: S = { (0,628;0,397;0,394) }[pic 45][pic 46]

f)        [pic 48][pic 47]

Critério de Parada        Resp.: S = { (0,38;-0,506;-0,448) }[pic 49][pic 50]

g)        [pic 52][pic 51]

Critério de Parada        Resp.: S = { (1; 0,999; 0,999) }[pic 53][pic 54]

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