O Cálculo de Estacionamento

CÁLCULO DE ÁREA ATRAVÉS DE INTEGRAL

Artur Natal Vicentin

Eric Schaukoski

Josiane Rodrigues Pedro

Vitória de Souza Cipriano

Prof. Beatriz Dalmolin

Resumo

  Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma realizados facilmente. Mas a situações que exigem ferramentas auxiliares como em áreas com curva. Para essas situações utilizamos os cálculos envolvendo operações desenvolvidas por Isaac Newton, Leibniz e Riemann. Através desses cálculos é possível calcular a área de um estacionamento com uma curvatura para a instalação de uma cabina de segurança.

Palavras-chave: Cálculo, integral, cálculo de área.

1 INTRODUÇÃO

   Antes de considerar um problema encontrar a área cortada por uma curva, é conveniente rever os princípios básicos do cálculo de área.

  O cálculo de áreas tem inicialmente três operações-base iniciais como limites, derivadas de funções e a integral (cálculo infinitesimal).

Como em calcular a área de um estacionamento de um shopping para a colocação de uma cabina, mediante essa informação, precisa-se calcular a área total do estacionamento e calcular as dimensões.

2  O CÁLCULO

A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções (integral da derivada retorna para a função original).

 - função origem;[pic 1]

 – derivada de ;[pic 2][pic 3]

 - integral[pic 4]

 Já a integral definida, inicialmente definida como Soma de Riemann, que é denominada integral de Riemann, para homenagear o matemático alemão Bernhard Riemann estabelece limites de integração, um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida.

2.1 GEORG FRIEDRICH RIEMANN (1826-1866)

Bernhard Riemann era filho de um ministro protestante e com pouca idade mostrou talento em Aritmética. Em 1846, entrou na Universidade de Göttingen para estudar Teologia e Filosofia, mas logo se transferiu para a Matemática. Estudou física com W.E. Weber e Matemática com Carl Friedrich Gauss. Em 1851, recebeu seu PHD sob a orientação de Gauss e permaneceu em Göttingen para lecionar. Para uma aula introdutória, Riemann submeteu três tópicos possíveis a Gauss. Gauss surpreendeu Riemann, escolhendo o que ele menos gostava os fundamentos da Geometria. Os resultados apresentados por Riemann naquele dia acabaram sendo a ferramenta fundamental, usada por Einstein cerca de 50 anos depois, para desenvolver a teoria da Relatividade. Em 1862, sofreu um ataque de pleurisia e permaneceu doente pelo restante da vida, ate falecer com tuberculose em 1866, aos 39 anos.

2.2 CÁLCULOS INFINITESIMAIS

Quando uma área retangular como na figura 1 de expressão “ tem a condição  não é satisfeita(área infinitesimal), pode ser utilizado a integral definida, quebrando os cálculos em “pequenas partes iguais”, então, a área total sob a curva era obtida “somando” essas áreas infinitesimais com na figura 2. O símbolo “∫” é um “S“ espichado que era usado para indicar essa soma, que é chamada de soma de Riemann e a integral definida é, às vezes, denominada integral de Riemann, para homenagear o matemático alemão Bernhard Riemann (citado no tópico), que formulou muitos conceitos básicos de Cálculo Integral.[pic 5][pic 6]

[pic 7][pic 8]

Figura 1                                            Figura 2

O fator de que  é contínua no intervalo  é suficiente para garantir que o limite usado para a integral representada pelo símbolo  existe e é o mesmo qualquer que seja a forma de escolher subintervalos , é dada pelo limite da soma de Riemann quando n 🡪 +∞, ou seja, [pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

[pic 13]

A função  recebe o nome de integrando e os números  e  são chamados de limite inferior de integração e limite superior de integração, para então tomar o limite da soma de Riemann e obter um resultado mais exato. O processo calcular uma integral definida é chamado de integração definida.[pic 14][pic 15][pic 16]

Tomar o limite das somas de Riemann, quando o número de subintervalos crescerem e sua amplitude tenderem a zero. Isso faz com que o erro na aproximação tenda a zero e produza a seguinte definida para a área exata A:

 [pic 17]

O símbolo  usado para representar a integral definida é igual ao símbolo  usado para representar a integral indefinida, embora a integral definida seja um número, enquanto a integral indefinida é uma família de funções, as antiderivadas de f, estes dois conceitos aparentemente muitos diversos estão intimamente relacionados. [pic 18][pic 19]