O Cálculo de Funções

1. Dada a função [pic 1][pic 2] , determine o domínio e o conjunto imagem de [pic 3][pic 4]

Resolução: Para encontrar o domínio da função apresentada, é necessário observar as restrições para o valor de x. Como a função possui uma raiz quadrada, o valor no interior da raiz não poderá ser negativo. Logo:
[pic 5]

Além disso, é preciso também observar o denominador desta fração, a qual não pode assumir o valor zero, pois a divisão por zero não é possível:

[pic 6][pic 7], implica-se [pic 8][pic 9]

Em seguida, é necessário realizar o estudo de sinal para que possa determinar em quais intervalos os valores de  [pic 10][pic 11] serão positivos ou igual a zero. Podemos separar em duas funções, a que representa o numerador [pic 12][pic 13] e a função que representa o denominador [pic 14][pic 15].

Primeiramente, iremos esboçar o gráfico de cada função a partir de suas raízes:

• [pic 16][pic 17]

Para [pic 18][pic 19], obtém-se [pic 20][pic 21], logo suas raízes serão:

[pic 22]

[pic 23]

Esboçando:

[pic 24]

Onde, a região em verde representa o intervalo em que g(x) assume valor positivo, e a região em vermelho representa o intervalo em que g(x) assume valor negativo.

• [pic 25][pic 26]

Para [pic 27][pic 28], obtém-se [pic 29][pic 30]. Esboçando:

[pic 31]

Da mesma forma que a função g(x), a região em vermelho representa o intervalo em que h(x) assume valor negativo, e a região em verde representa o intervalo em que h(x) assume valor positivo.

Por fim, podemos realizar o estudo do sinal de [pic 32][pic 33], o qual está sendo representado por  [pic 34][pic 35] :

[pic 36]

No gráfico acima é possível notar que o valor de x = 1 está sendo desconsiderado por causa da restrição mencionada no início, em que o denominador não pode assumir valor zero. Sendo assim, cada trecho em vermelho representa o intervalo negativo e o trecho em verde, representa o que buscamos: o trecho em que o valor de [pic 37][pic 38] é positivo ou igual a zero. Logo, pode-se escrever o domínio da função [pic 39][pic 40] como:

[pic 41]

Por definição, a raiz quadrada de qualquer número sempre será um valor positivo ou igual a zero, concluindo que o conjunto imagem da função será dado por:

[pic 42]