O Desvio padrão de uma variável aleatória

Anhanguera Educacional

Aluno: Willian Junior Rodrigues de Oliveira

RA: 5632121325

Professor (a): Eva Cordeiro

1º Período                                                 Engenharia Mecânica

Desvio Padrão

Anápolis, outubro de 2012.

Desvio Padrão

Desvio padrão de uma variável aleatória

O desvio padrão de uma variável aleatória X é definido como:

[pic 1]

onde [pic 2]é o valor esperado de X.

Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, porque esses valores esperados não precisam existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que flui em uma distribuição de Cauchy é indefinido.

Desvio padrão amostral

Se uma variável aleatória [pic 3]toma os valores [pic 4]então o desvio padrão para esta amostra de [pic 5]números (ou desvio padrão amostral) pode ser calculado da seguinte forma. Primeiro calcula-se a média de [pic 6][pic 7]através de:

[pic 8]

(veja notação sigma). Depois, o desvio padrão amostral é calculado como:

[pic 9]

A divisão por [pic 10]aparece quando exigimos que a variância amostral [pic 11]seja um estimador não tendencioso da variância populacional [pic 12]

Quando os dados estão agrupados(frequência) temos:

[pic 13]

onde [pic 14]é o número de observações diferentes.

Em outras palavras, o desvio padrão amostral de uma variável aleatória X pode ser calculada como:

1. Para cada valor [pic 15]calcula-se a diferença [pic 16]entre [pic 17]e o valor médio [pic 18]
2. Calcula-se o quadrado dessa diferença. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), multiplica-se cada um destes quadrados pela respectiva frequência.
3. Encontra-se a soma dos quadrados das diferenças. No caso dos dados estarem tabelados (com frequências), a soma é a dos produtos dos quadrados das diferenças pela respectiva frequência.
4. Divide-se este resultado por: (número de valores - 1), ou seja, [pic 19]Esta quantidade é a variância [pic 20]
5. Tome a raiz quadrática deste resultado.

O desvio padrão também pode ser calculado quando não se sabe a média dos dados. O cálculo é feito conforme a fórmula:

[pic 21]

   Real-life examples Exemplos da vida real

The practical value of understanding the standard deviation of a set of values is in appreciating how much variation there is from the "average" (mean). O valor prático de compreender o desvio padrão de um conjunto de valores é de apreciar quanta variação existe a partir da “média".

3.1.1Tempo

As a simple example, consider average temperatures for cities. Como um exemplo simples, considere as temperaturas médias para as cidades. While two cities may each have an average temperature of 60  , it's helpful to understand that the range for cities near the coast is smaller than for cities inland, which clarifies that, while the average is similar, the chance for variation is greater inland than near the coast. Enquanto duas cidades podem ter cada temperatura média de 60 ° F , é útil entender que o intervalo para cidades próximas ao litoral é menor do que para cidades do interior, que esclarece que, enquanto a média é semelhante, a chance de variação é maior no interior do que perto da costa.

So, an average of 60 occurs for one city with highs of 80 °F and lows of 40 °F , and also occurs for another city with highs of 65 and lows of 55. Então, uma média de 60 ocorre para uma cidade com máxima de 80 ° C e mínimas de 40 ° C, e também ocorre para outra cidade com máxima de 65 e mínima de 55. The standard deviation allows us to recognize that the average for the city with the wider variation, and thus a higher standard deviation, will not offer as reliable a prediction of temperature as the city with the smaller variation and lower standard deviation. O desvio padrão nos permite reconhecer que a média para a cidade com a maior variação, e assim um maior desvio padrão, não vai oferecer como uma previsão confiável de temperatura como a cidade com a menor variação e menor desvio padrão.

3.1.2SportsEsportes

Another way of seeing it is to consider sports teams. Outra forma de ver isso é considerar equipes esportivas. In any set of categories, there will be teams that rate highly at some things and poorly at others. Em qualquer conjunto de categorias, haverá equipes que taxa muito em algumas coisas e mal em outros. Chances are, the teams that lead in the standings will not show such disparity, but will be pretty good in most categories. As possibilidades são as equipes que levam na classificação não vai mostrar essa disparidade, mas vai ser muito bom na maioria das categorias. The lower the standard deviation of their ratings in each category, the more balanced and consistent they might be. Quanto mais baixo for o desvio padrão das suas classificações em cada categoria, o mais equilibrado e mais consistente que pode ser. So, a team that is consistently bad in most categories will have a high standard deviation indicating it will probably lose more often than win. Assim, uma equipe que é sempre ruim na maioria das categorias terá um alto desvio padrão, indicando que provavelmente irá perder mais vezes do que a vitória. A team that is consistently good in most categories will also have a low standard deviation and will therefore end up winning more than losing. Uma equipe que é sempre bom na maioria das categorias também terá um desvio padrão baixo e, portanto, acabam ganhando mais do que perdendo. A team with a high standard deviation might be the type of team that scores a lot (strong offense) but gets scored on a lot too (weak defense); or vice versa, might have a poor offense, but compensate by being difficult to score on - teams with a higher standard deviation will be more unpredictable. Uma equipe com um desvio padrão elevada pode ser o tipo de equipe que marcam muitos (ofensa forte), mas fica marcado em muito também (defesa fraca), ou vice-versa, pode ter um ataque fraco, mas compensa por ser difícil de marcar on - equipes com um maior desvio padrão será mais imprevisível.