O LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Por: mendao • 12/6/2017 • Seminário • 643 Palavras (3 Páginas) • 128 Visualizações
LIMITE DE UMA FUNÇÃO
INTRODUÇÃO Consideremos a função [pic 1] definida por:
[pic 2]
Sabemos que [pic 3] está definida para todos os valores de [pic 4] exceto [pic 5]. Assim, se [pic 6], o numerador e o denominador podem ser divididos por [pic 7] para obtermos:
[pic 8] para [pic 9]
Deste modo, estudaremos os valores da função [pic 10], quando [pic 11] estiver próximo a 1 mas não igual a 1.
Observe a tabela abaixo, onde [pic 12] se aproxima de 1 através de valores que são menores que 1:
[pic 13] | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 0,9 | 0,99 | 0,999 | 0,9999 | 0,99999 |
[pic 14] | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 4,8 | 4,98 | 4,998 | 4,9998 | 4,99998 |
Agora supomos que a variável [pic 15] aproxima-se de 1 através de valores que são maiores que 1:
[pic 16] | 2 | 1,75 | 1,5 | 1,25 | 1,1 | 1,01 | 1,001 | 1,0001 | 1,00001 |
[pic 17] | 7 | 6,5 | 6 | 5,5 | 5,2 | 5,02 | 5,002 | 5,0002 | 5,00002 |
Vemos que em ambas as tabelas, quando [pic 18] se aproxima cada vez mais de 1, [pic 19] aproxima-se cada vez mais de 5; e quanto mais próximo [pic 20] estiver de 1, [pic 21] estará mais próxima de 5.
Vendo a situação de outro modo, vemos que é possível fazer o valor de [pic 22] tão próximo de 5 quanto desejarmos, tornando [pic 23] suficientemente próximo de 1, e vice-versa, ou seja, é possível fazer o valor de [pic 24] tão próximo de 1 quanto desejarmos, tornando [pic 25] suficientemente próximo de 5.
Uma outra maneira de dizer isto é: podemos tornar o valor absoluto da diferença entre [pic 26] e 5 tão pequeno quanto desejarmos, tornando o valor absoluto da diferença entre [pic 27] e 1 suficientemente pequeno. Isto é, [pic 28] pode ser tão pequeno quanto quisermos fazendo [pic 29] suficientemente pequeno.
Uma maneira mais precisa de escrever isto é usando dois símbolos para estas diferenças pequenas.
Os símbolos são [pic 30] (epsilon) e [pic 31] (delta).
Assim afirmamos que [pic 32] será menor que [pic 33]sempre que [pic 34] for menor que [pic 35], e [pic 36] (desde que [pic 37]). É importante perceber que o tamanho do [pic 38] depende do tamanho do [pic 39].
Ainda uma outra forma de dizer isto é: dado qualquer número positivo [pic 40] podemos tornar [pic 41] tomando [pic 42] suficientemente pequeno; isto é existe algum número positivo [pic 43] suficientemente pequeno, tal que:
[pic 44] sempre que [pic 45]
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA A figura abaixo ilustra graficamente o significado geométrico do [pic 46] e do [pic 47]:
[pic 48]
DEFINIÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO Seja [pic 49] uma função definida em todo número de algum intervalo aberto [pic 50], contendo [pic 51], exceto possivelmente no próprio número [pic 52]. O limite de [pic 53] quando [pic 54] aproxima-se de [pic 55] é [pic 56], que pode ser escrito como:
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