Limites infinitos e limites fundamentais

Matemática Superior- UVB

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Aula 03 - Limites infinitos e

limites fundamentais

Objet ivos da Aula

•Interpretar os limites infinitos, apresentando aplicações relacionadas

à área de Economia.

• Estudar os limites fundamentais: trigonométrico e exponencial.

• Favorecer o desenvolvimento da capacidade de interpretar e

resolver problemas, relacionando o conteúdo à prática profissional.

Limites infinitos

Agora atribuímos a x valores próximos de 2, à direitaMatemática Superior- UVB

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Para melhor compreensão observe o esboço do gráfico desta função.

A partir desta idéia, podemos enunciar a seguinte definição:

Seja f uma função que esta definida em todo número de algum

intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio a. À

medida que x se aproxima de a, f(x) aumenta ilimitadamente, então,

diz-se que f tem limite infinito positivo,

2, quer pela esquerda, quer pela direita, f(x) assume valores cada vez

menores (decresce ilimitadamente). Logo podemos escrever

x

f(x)

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Para melhor compreensão observe o comportamento de f(x) tendendo

ao infinito negativo, quando x se aproxima de 2.

Em geral, definimos essa função da seguinte forma:

Seja f uma função que está definida em todo número de algum

intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio a. À

medida que x se aproxima de a, f(x) decresce ilimitadamente, então,

diz-se que f tem limite infinito negativo, denotado por

se f(x) poder ser tornado menor do que qualquer número negativo

prefixado tomando-se |x-a| suficientemente pequeno e |x-a| >0.

contudo o símbolo não é um número real e, portanto não existe

o limite;

entretanto, o símbolo indica o que ocorre com f(x) quando x

se aproxima cada vez mais de a (cresce ou decresce ilimitadamente)

x

f(x)

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Observemos que, quando x tende a 3 pela direita, f(x) assume valores

positivos arbitrariamente Grandes (aumenta ilimitadamente). Assim:

Por outro lado, quando x tende a 3 pela esquerda, f(x) assume valores

cada vez menores (decresce ilimitadamente). Assim:

Atribuindo a x os valores 10, 100, 10000 e assim por diante, de tal

forma que x cresça ilimitadamente, o valor da função f(x) se aproxima

de zero. Assim,

x

f(x)

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Em geral , podemos empregar a seguinte definição:

A função f tem limite L quando x cresce além de qualquer limite (ou

quando x tende a infinito), o que se denota por

Se pudermos fazer com que f(x) se aproxime arbitrariamente de L

tomando x suficientemente grande. Analogamente, a função f tem

limite M quando x decresce além de qualquer limite (ou quando x

tende a menos infinito), o que se denota por

Se pudermos fazer com que f(x) se aproxime arbitrariamente de M

tomando x negativo e suficientemente grande em valor absoluto.

Todas as propriedades de limites são válidas quando

x

f(x)

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Além disso, temos a seguinte propriedade:

Para todo k > 0, temos

Exemplo 1:

Fazendo o esboço do gráfico de f(x), vemos que

Exemplo 2:

O custo médio por disco (em dólares) que a Companhia Herald Record

tem ao fabricar x CDS de áudio é dado pela função custo médio

Caucule e interprete o resultado obtido.

f(x)

2 x -1 1

1

-2 0Matemática Superior- UVB

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Solução

O cálculo revela que, à medida que a produção de CDs cresce “além de

qualquer limite”, o custo médio diminui e se aproxima de 1,8 dólares

por disco. Para melhor compreensão observe o esboço do gráfico.

Observação:

Na realidade, os símbolos + (mais infinito) e - (menos