O LIMITE DE UMA FUNÇÃO

LIMITE DE UMA FUNÇÃO

INTRODUÇÃO  Consideremos a função [pic 1] definida por:

[pic 2]

Sabemos que [pic 3] está definida para todos os valores de [pic 4] exceto [pic 5]. Assim, se [pic 6], o numerador e o denominador podem ser divididos por [pic 7] para obtermos:

[pic 8] para [pic 9]

Deste modo, estudaremos os valores da função [pic 10], quando [pic 11] estiver próximo a 1 mas não igual a 1.  

Observe a tabela abaixo, onde [pic 12] se aproxima de 1 através de valores que são menores que 1:

[pic 13]	0	0,25	0,5	0,75	0,9	0,99	0,999	0,9999	0,99999
[pic 14]	3	3,5	4	4,5	4,8	4,98	4,998	4,9998	4,99998

Agora supomos que a variável [pic 15] aproxima-se de 1 através de valores que são maiores que 1:

[pic 16]	2	1,75	1,5	1,25	1,1	1,01	1,001	1,0001	1,00001
[pic 17]	7	6,5	6	5,5	5,2	5,02	5,002	5,0002	5,00002

Vemos que em ambas as tabelas, quando [pic 18] se aproxima cada vez mais de 1, [pic 19] aproxima-se cada vez mais de 5; e quanto mais próximo [pic 20] estiver de 1, [pic 21] estará mais próxima de 5.

Vendo a situação de outro modo, vemos que é possível fazer o valor de [pic 22] tão próximo de 5 quanto desejarmos, tornando [pic 23] suficientemente próximo de 1, e vice-versa, ou seja, é possível fazer o valor de [pic 24] tão próximo de 1 quanto desejarmos, tornando [pic 25] suficientemente próximo de 5.

Uma outra maneira de dizer isto é: podemos tornar o valor absoluto da diferença entre [pic 26] e 5 tão pequeno quanto desejarmos, tornando o valor absoluto da diferença entre [pic 27] e 1 suficientemente pequeno. Isto é, [pic 28] pode ser tão pequeno quanto quisermos fazendo [pic 29] suficientemente pequeno.

Uma maneira mais precisa de escrever isto é usando dois símbolos para estas diferenças pequenas.

Os símbolos são [pic 30] (epsilon) e [pic 31] (delta).

Assim afirmamos que [pic 32] será menor que [pic 33]sempre que [pic 34] for menor que [pic 35], e [pic 36] (desde que [pic 37]). É importante perceber que o tamanho do [pic 38] depende do tamanho do [pic 39].

Ainda uma outra forma de dizer isto é: dado qualquer número positivo [pic 40] podemos tornar [pic 41] tomando [pic 42] suficientemente pequeno; isto é existe algum número positivo [pic 43] suficientemente pequeno, tal que:

[pic 44] sempre que [pic 45]

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA  A figura abaixo ilustra graficamente o significado geométrico do [pic 46] e do [pic 47]:

[pic 48]

DEFINIÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO  Seja [pic 49] uma função definida em todo número de algum intervalo aberto [pic 50], contendo [pic 51], exceto possivelmente no próprio número [pic 52]. O limite de [pic 53] quando [pic 54] aproxima-se de [pic 55] é [pic 56], que pode ser escrito como: