O Teorema de Perron-Frobenius e a Ausência de Transição de Fase em Modelos Unidimensionais da Mecânica Estatística

O Teorema de Perron-Frobenius e a Ausência de Transição

de Fase em Modelos Unidimensionais da Mecânica

Estatı́stica

Marcelo Richard Hilário

Aluno do Curso de Graduação em Fı́sica - UFMG,

[e-mail]

Gastão Braga

Departamento de Matemática - UFMG

Caixa Postal 1621

30161-970 - Belo Horizonte - MG

[e-mail]

29 de setembro de 2004

Resumo

Nesse trabalho, apresentamos o Teorema de Perron-Frobenius e algumas de suas aplicações

em Mecânica Estatı́stica do Equilı́brio. Resumidamente, o teorema afirma que o maior auto-

valor de matrizes quadradas com todas as entradas positivas tem multiplicidade algébrica

igual a 1. A sua conexão com a Mecânica Estatı́stica é imediata, pois matrizes com todas as

entradas positivas surgem, naturalmente, quando se avalia a função partição utilizando-se

o método da matriz transferência. Mostraremos que, para uma grande classe de modelos

de curto alcance, a pressão é dada pelo logaritmo natural do maior autovalor da matriz

transferência. Depois mostraremos que, se a energia do sistema for uma função suave dos

seus parâmetros então esse autovalor também o será. Como resultado, mostraremos que a

pressão é uma função tão suave quanto a energia, com respeito a esses parâmetros; o que

impossibilita a presença de transições de fase para esses modelos.

1 Introdução

Esse trabalho versa sobre o Teorema de Perron-Frobenius [1], [2], [3] e suas conseqüências

em Mecânica Estatı́stica do Equilı́brio. Resumidamente, o teorema afirma que o maior

autovalor de uma matriz n × n, com entradas positivas, é simples. Esse fato gera vários

resultados importantes sobre a termodinâmica de sistemas fı́sicos. Vamos argumentar que,

para uma grande classe de sistemas de spins unidimensionais, a pressão (função a partir da

1

qual se determinam as grandezas fisicamente mensuráveis) é igual ao logaritmo natural do

maior autovalor de uma matriz de entradas positivas (a matriz transferência). A conexão

entre o resultado matemático e a descrição fı́sica desses sistemas se dá pelo seguinte: o

fenômeno de transição de fase se manifesta como algum tipo de descontinuidade da pressão

com respeito aos parâmetros do sistema. Contudo, o maior autovalor da matriz transferência

é simples e recebe de ”herança”a suavidade da energia de interação do sistema (se a energia

de interação for de classe C ∞ então a energia livre também o será) e, portanto, nenhuma

transição de fase ocorrerá no sistema.

Desde a sua publicação, em 1907, várias provas do Teorema de Perron-Frobenius foram

produzidas. Neste texto, fixaremos atenção nas provas apresentadas por B. Simon [8] e

D. Ruelle [9] e em algumas de suas conseqüências que também são apresentadas nessas

referências. As aplicações serão concentradas na descrição matemática de sistemas de spin

unidimensionais, na qual aparecem matrizes com entradas positivas (matrizes transferência).

Um exemplo particular que será tratado é o Modelo de Ising [4]. Foi graças ao método da

matriz transferência que L. Onsager [5] determinou a energia livre do Modelo de Ising

bi-dimensional, sem campo externo, e concluiu que o mesmo apresentava o fenômeno de

transição de fase ao contrário do que acontece no caso unidimensional. O Teorema de

Perron-Frobenius também apresenta aplicações em Sistemas Dinâmicos [11] e em Probabi-

lidades [12].

Modelos de spin podem ser utilizados, por exemplo, para tratar sistemas ferromagnéticos.

Esses sistemas ferromagnéticos, por sua vez, são corriqueiros no dia-a-dia. Várias vezes,

temos à mão um objeto magnetizado que é capaz de produzir forças de atração em metais

como o ferro. Suponha que esse objeto seja constituı́do por átomos que ocupam posições

bem definidas em Rd . Cada ponto no qual se encontra um átomo é chamado de sı́tio e o

conjunto de todos os sı́tios é uma rede. Para entender o comportamento de tais sistemas,

vamos imaginar que cada átomo tenha, associado a si, um momento de dipolo magnético

de spin − →s . A origem desse momento de dipolo é quântica. A orientação