O conteúdo do curso de Arquitetura e tecnologia

FACULDADE DE ENGENHARIA

ARQUITETURA E TECNOLOGIA

NOTAS DE AULA PARA ACOMPANHAR A DISCIPLINA DE CÁLCULO III

Prof ª. Drª. Fátima Ahmad Rabah Abido

Marília - SP

1º Semestre de 2011

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANTON, H. Cálculo – um novo horizonte. V. 1. 6 ª ed. Bookman: Porto Alegre. 2.000.

EDWARDS JR., C.H. & PENNEY, D.E. Cálculo com geometria analítica. V. 1 e 2. 4ª ed.

Prentice Hall: Rio de Janeiro. 1997.

FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M.B. Cálculo A. 5ª ed. McGraw- Hill: São Paulo. 1992.

FLEMMING, D.M. & GONÇALVES, M.B. Cálculo B. 2ª ed. McGraw- Hill: São Paulo. 1999.

GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 1. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987.

GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 2. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987.

GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. V. 3. 2ª ed. LTC: Rio de Janeiro. 1987.

LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2. 2ª ed. Harbra: São Paulo. 1986.

PISKUNOV,N.Cálculo diferencial e integral.V.1e2.6ªed.MIR:

Moscou.1977.

SWOKOWSKI. Cálculo com Geometria Analítica. V. 1 e 2. 2ª ed. McGraw-Hill: São

Paulo. 1984.

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

- Aplicações da Integral Definida

Cálculo da área em coordenadas cartesianas

Cálculo de comprimento de arco

Cálculo da área de um sólido de revolução

Cálculo do volume de um sólido de revolução

Coordenadas polares: gráficos

Cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares

Cálculo de áreas planas em coordenadas polares

- Funções de várias variáveis

Definição

Representação geométrica de uma função de duas variáveis

Derivadas parciais da função de várias variáveis

Interpretação geométrica da função de várias variáveis

Derivação da função composta. Derivada total

Derivada parcial de ordem superior

- Integrais múltiplas

Integral dupla

Cálculo da integral dupla

Cálculo de áreas e volumes utilizando integrais duplas

Integral dupla em coordenadas polares

Substituição de variáveis em uma integral dupla

Integral tripla

Cálculo da integral tripla

Mudança de variáveis em uma integral tripla

1. Aplicações da Integral Definida

Estudamos a integral definida e analisamos uma importante aplicação que é o cálculo de Área de regiões planas.

Agora, outras aplicações da integral definida serão discutidas.

1.1 Comprimento de arco em coordenadas cartesianas

Seja f uma função suave (f e sua derivada f ’ são contínuas) em [a,b]. O comprimento de arco do gráfico de f de A(a,f(a)) à B(b,f(b)) é dado por:

Obs: Podem ocorrer situações em que a curva é dada por x = g(y) em vez de y = f(x). Neste caso, o comprimento do arco da curva de A(g(c),c) até B(g(d),d) é dado por:

Exercícios

1) Encontre o comprimento de arco do gráfico de (y – 1)³ = x² no intervalo [0,8].

(Resp. L @ 9,0734 u.c.)

2) Encontre o comprimento de arco da curva y = x2/3 do ponto (1,1) a (8,4).

(Resp. L @ 7,6 u.c.)

3) Encontre o comprimento do arco da curva 8y = x 4 + 2x -2 do ponto onde x = 1 ao ponto x = 2.

(Resp. L = 33/16 u.c)

1.2 Comprimento de arco uma curva plana dada por suas Equações Paramétricas

Vamos calcular o comprimento de arco de uma curva C, dada na forma paramétrica pelas equações.

onde x = x(t) e y = y(t) são contínuas com derivadas contínuas e x’(t)  0 para todo

Neste caso, conforme vimos, estas equações definem uma função y = f(x), cuja derivada é dada por Segue então, através de uma substituição, que:

,

onde t0 = a e t1 = b.

Portanto,