Os Métodos Numéricos
Por: mendoncamarcus • 27/7/2021 • Trabalho acadêmico • 1.870 Palavras (8 Páginas) • 106 Visualizações
Universidade de Brasília - UnB Faculdade UnB Gama - FGA
Curso de Engenharia Eletrônica
[pic 1][pic 2]Álgebra linear numérica – Eliminação de Gauss e Gauss Jordan
Autor: Marcus Vinícius Teodoro Mendonça 14/0153357
Brasília, DF 2021
SUMÁRIO
1. Explicação teórica | 3 |
2. Implementação do método | 4 |
3. Aplicação | 6 |
4. Referências bibliográficas | 9 |
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Explicação teórica
O método de eliminação de Gauss é um dos métodos mais usados para resolver o sistema linear. A versão adaptada denominada de Eliminação de Gauss-Jordan é um dos métodos mais práticos para inverter matrizes. Além de resolver o sistema linear e inverter matrizes, a eliminação de Gauss é usado frequentemente para diversos outros cálculos tais como determinantes, base do núcleo e da imagem de uma transformação linear, base do espaço gerado etc.
O procedimento é converter a matriz aumentada do sistema dado, numa matriz escalonada, aplicando uma sequência de operações denominados de operações elementares. Tais operações são escolhidos de forma que a solução do sistema não seja alteradas.
As operações elementares constituem de três operações básicas:
• Somar múltiplo de outra linha: Equivale a somar múltiplo da outra equação que também não altera a solução do sistema.
• Troca de linhas: A troca de linhas corresponde a troca da posição das equações, o que não influencia na solução do sistema.
• Multiplicar uma linha por número não nulo: Equivale a multiplicar um número não nulo na equação correspondente que também não altera a solução. Esta operação não é necessária na eliminação de Gauss, mas faz-se necessário no Gauss-Jordan.
Para a praticidade, multiplicar e somar múltiplos podem ser realizados juntas (exceto para o cálculo numérico).
As notações usadas são:
• Li ← Li + µLk somar linha k multiplicado por µ. Não altera o determinante.
• Li ↔ Lk é a troca de linha i por linha k. Caso estiver calculando o determinante por método de escalonamento, lembrar que isto muda o sinal do determinante.
• Li ← λLi multiplicar a linha i com λ. Não esquecer que λ não podem ser nulo.
No caso de estiver calculando o determinante, lembrar que o determinante é multiplicado por λ. No caso do Cálculo Numérico, deverá escalonar usando somente estas três operações, o que é adequado para uma implementação computacional eciente. Para o cálculo manual, costuma trocar a segunda operação com
• Li ← λLi + µLk combinação de multiplicar e somar o múltiplo. Lembrar que λ não pode ser nulo.
Quando λ = 1, será operação usada no cálculo numérico. No caso de estiver calculando o determinante, lembrar que determinantes será multiplicado por λ. Também usaremos a notação adicional.
• Li ← Li usado para indicar que a linha i não precisa ser modificada (multiplicar por 1).
Todo de escalonamento é efetuado em etapas, escolhendo as linhas de cima para baixo. Na primeira etapa, escolhe a linha 1, na segunda etapa escolhe a linha 2 e assim por diante. A linha escolhida em cada etapa é denominada de linha pivô (chave). Após escolher a linha de pivô, um elemento especial desta linha denominado de elemento de pivô será escolhido.
Quando a linha de pivô for a primeira linha, inicialmente o primeiro elemento será considerado elemento de pivô. Quando a linha de pivô for outras linhas, o elemento de uma coluna a direita do pivô anterior (da linha imediatamente acima) é denominado de elemento de pivô. Quando o elemento de pivô e todos os elementos da linha de baixo nesta coluna forem nulas, o pivô será deslocado para a direita. Mais precisamente, um elemento da linha de pivô é denominado de elemento pivô se todas elementos das linhas dele e de baixo dele nas colunas a esquerda são nulas, mas existe pelo menos um elemento não nulo na linha ou abaixo dela na coluna dele.
O objetivo de cada etapa é anular os elementos abaixo (Gauss) ou acima e abaixo (Gauss-Jordan) do elemento pivô através dos operadores elementares usando a linha desejada e a linha pivô.
Implementação do método
Considere o sistema linear:
x + 2y − z = 5
3y + 2z = −1
x + z = 1
A matriz aumentada é:
[pic 3]
Na primeira etapa, a linha pivô é a linha 1. O primeiro elemento é o elemento do diagonal. Precisamos anular os elementos da primeira coluna da segunda e da terceira linha (linha de baixo).
A segunda linha não precisa de alteração. Deverá anular a primeira coluna da terceira linha, usando-o e a linha de pivô (primeira linha). Para isso, basta subtrair a linha de pivô.
[pic 4]
Com estas operações, a primeira coluna ficou escalonada.
Agora, a linha de pivô é a segunda linha e o elemento pivô é o elemento do diagonal (uma a esquerda do pivô anterior). Precisamos anular a segunda coluna da terceira linha (linha de baixo).
Para isto, basta multiplicar por 3 e subtrair o dobro da linha de pivô. O esquema usado aqui é multiplicar o elemento de pivô na linha em alteração (que quer anular o elemento abaixo de pivô) e o elemento que quer anular na linha de pivô. Esta “multiplicação invertida” iguala os elementos na coluna de pivô. Subtraindo uma da outra, podemos anular o elemento desejado. No exemplo, pivô é 3. Logo, multiplica 3 na linha 3 que está em alteração. O elemento que quer anular é -2. Logo, multiplica o -2 na linha de pivô. Depois subtrai um do outro.
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