Os Sistemas de Controle Não-lineares

1. Introdução

A natureza da maior parte dos sistemas é não linear e uma fração pequena de um grupo extenso corresponde aos sistemas lineares. Os sistemas de controle não-lineares são os sistemas onde a não linearidade desempenha uma significativa função no processo a ser controlado (planta) ou no próprio controlador. Tais sistemas surgem naturalmente em numerosos sistemas de engenharia e naturais.

São frequentemente aproximados em sistemas lineares principalmente pela simplicidade matemática. Entretanto, os estudos dos sistemas não lineares são feitos, em geral, com base na teoria de sistemas não lineares.

Os sistemas não lineares são representados por equações matemáticas lineares e obedecem ao princípio da superposição. Os sistemas não lineares são representados por equações matemáticas não lineares e não seguem o princípio da superposição, e apresentam determinados fenômenos presentes apenas nesse tipo de sistema. Alguns deles são: dependência  frequência-amplitude, repostas com múltiplos valores e ressonâncias com saltos, oscilações sub-harmônicas, oscilações auto-excitadas ou ciclos limite, sincronismo de frequência, supressão assíncrona.  

As não linearidades encontradas ainda podem ser inerentes quando são características intrínseca do sistema ou ainda inevitáveis ao mesmo como saturação e histerese, e também intencionais quando são impostas ao sistema.

1. Objetivo

Analisar componentes não-lineares básicos, verificando que o princípio da superposição não é válido para tais elementos. Para sinais de excitação senoidal, verificar a deformação do sinal de saída, com o aparecimento de componentes harmônicas na saída de elementos não lineares.

1. Desenvolvimento

Na parte 1 será apresentado os principais efeitos não lineares sobre um sistema, demonstrando suas características para uma entrada senoidal com 3 amplitudes diferentes. A entrada usada no experimento foi uma senoide  com frequência de 1Hz, sendo durantes os 3 primeiros segundos com amplitude de 0,01, de 3 a 6, a amplitude usada foi de 0,51 e de 6 a 9 foi usado 1,01. Para a simulação foi montado o seguinte circuito no simulink.

[pic 1]

Os parâmetros dos elementos não lineares estão na tabela 1

[pic 2] 

O primeiro elemento não linear simulado foi o atrito viscoso, ou atrito de Coulomb

[pic 3]

No atrito, quanto maior a amplitude menor a deformação, no ultimo caso simulado a saída ficou bem próxima da entrada, enquanto que na primeira, a onda é totalmente diferente.  

O segundo elemento analisado é a zona morta.

[pic 4]

Analisando o gráfico, é possível observar o tempo de atraso para saída do zero do sistema, causando um pico menor que na entrada. Isso acontece porque a saída só aciona com uma entrada maior que 0.1, causando os efeitos citados acima. Quando a amplitude aumenta, a zona morta diminui, isso acontece pois a variação é maior onde a amplitude é maior, logo onde a amplitude é maior, o sistema atinge 0.1 mais rápido.

O relay, ou Rele com histerese  foi o terceiro elemento a ser analisado

[pic 5]

Analisando as curvas, vemos que a amplitude da primeira parte não foi suficiente para acionar o rele, já as outras acionou o rele no semiciclo positivo, tento o rele apenas duas posições possíveis +0.6 e -0.6. o relé comuta pra 0.6 apenas quando a entrada é maior que 0.1. com a variação da amplitude, o tempo do rele em 0.6 foi ligeiramente maior onde a amplitude for maior devido a maior taxa de variação, permitindo assim o sistema atingir determinado paramento antes.

O ultimo elemento analisado foi a saturação, que é um limite  máximo que pode sair do sistema.

[pic 6]

Na saturação, a saída do Sistema varia até o limite definido, se a entrada for superior , a saturação “corta”, para valores inferiores ao de saturação a entrada é igual a saída. Neste caso a saturação do superior do sistema foi de 0.1 e inferior de -0.1. Na saturação, a mudança de amplitude só altera a variação  do crescimento da curva, mudando um pouco o formato da saída caso as amplitudes em questão estejam “cortadas”.

[pic 7]

Na parte 2, simulou-se os elementos não lineares zona-morta e saturação, com os parâmetros especificados na Tabela 2, no intervalo de tempo em segundos [0 ; 0.10) com intervalo de amostragem .[pic 8]

Elemento	Parâmetros	Valor
Dead zone	Start of dead zone End of dead zone	-0.5 0.5
Saturation	Upper limit Lower limit	0.1 -0.1

1. Sinal Analisado Nº 1: é constituído de duas componentes senoidais, de frequências 10 e 30 Hz, com amplitudes de 0,09 e 0,03, respectivamente. Ou seja, componente  e  .[pic 9][pic 10]

Observa-se que para os sinais de saturação na Figura 1, como o sinal não atingiu os limites de saturação impostos, os sinais apenas tiveram uma diferença entre suas frequências de oscilação. Nota-se que ocorreu uma deformação na forma de onda da saída na Figura 2 devido a zona morta com intervalo proposto na tabela.