Sistemas De Equações: Álgebra Linear

Sistemas De Equações: Álgebra Linear

Teorema De Cramer

A regra de Cramer é um teorema que da soluções em sistemas de equações lineares, este nome e dado em homenagem a Gabriel Cramer.

Sendo uma das maneiras de se resolver esses sistemas, cramer apenas poderá ser utilizado se o numero de equações e incógnitas forem iguais.

Então se ao resolvermos um sistema de equação N e incógnitas também N, precisaremos calcular o seu determinante e substituir os termos independentes em cada coluna calcular seus determinantes e então usar a regra de cramer.

Exemplo da regra: x=d1/d, y=d2/d, z=d3/3, n=dn/d.

Determinante diferente de zero (D≠0) Uma condição necessária ser respeitada da matriz incompleta.

Para entendimento, resolução simples equação 2x2.

que em forma matricial é:

x e y podem ser resultados usando a regra de Cramer.

Resolvendo o seguinte sistema usando Cramer.

x + 3y - 2z = 3

2x - y + z = 12

4x + 3y - 5z = 6

Teremos:

| 1 3 -2 |

| 2 -1 1 | = 24

| 4 3 -5 |

| 3 3 2 |

|12 -1 1 | =120

| 6 3 -5 |

| 1 3 3 |

| 2 -1 12 | =96

| 4 3 6 |

| 1 3 -2 |

| 2 12 1 | =48

| 4 6 -5 |

x1 = D x1 / D= 120 / 24 = 5

x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2

x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4

Logo o conjunto solução do sistema é S= { (5, 2, 4) }.

Sistemas De Equações Gauss-Jordan

As matrizes, não importa qual ordem, todas tem sua inversa, exceto uma matriz singular. A matriz singular é a matriz que tem sua determinante igual a 0, ou seja, que seja nulo. Todas outras que seu determinante seja diferente de 0, tem matriz inversa.

1. Se a matriz A admite inversa (det A # 0 ), esta é única.

2. Se a matriz A é não singular, sua inversa A-¹ também é. A matriz inversa de A-¹ é A.

3. A matriz unidade I é não singular (det I = 1) e é sua própria inversa: I = I-¹.

4. Se a matriz A é não singular, sua transposta (A) Exp T também é. A matriz inversa de (A) Exp T é ( A -¹) Exp T.

5. Se a matriz A e B são não singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma matriz não singular. A matriz inversa de AB é a matriz B-¹ A-¹.

O método de Gauss é indicado para aplicar operações elementares em matrizes aumentadas do sistema, onde consiste em diminuí-las de forma escalonada. O método exige que se transforme a matriz A dos coeficientes das variáveis na matriz unidade, enquanto o método de matriz inversa exige que se transforme a referida matriz A em sua inversa A-¹.

Passo 2

Operações Elementares

Um método para resolver um sistema linear é substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo conjunto solução do primeiro, mas que seja muito mais fácil de resolver. O novo sistema é obtido após a aplicação de uma serie de operações que simplificam as equações do sistema que tem a propriedade especial

de não alterar o conjunto solução. Estas operações são chamadas operações elementares e são de três tipos diferentes.

Definição. Operações Elementares:

1. Trocar duas equações do sistema de posição.

2. Substituir uma equação pela mesma equação multiplicada por um escalar diferente de 0.

3. Substituir uma equação pela mesma equação somada a outra equação multiplicada por um escalar

Passo 3

Eliminação de Gauss Jordan

Processo