Sistema Lineares

Sistemas Lineares

1. Equação Linear

Toda equação da forma é denominada equação linear, em que:

são coeficientes

são as incógnitas

b é um termo independente

Exemplos:

a) é uma equação linear de três incógnitas.

b) é uma equação linear de quatro incógnitas.

Observações:

1º) Quando o termo independente b for igual a zero, a equação linear denomina-se equação linear homogênea. Por exemplo: .

2º) Uma equação linear não apresenta termos da forma etc., isto é, cada termo da equação tem uma única incógnita, cujo expoente é sempre 1.

As equações e não são lineares.

3º) A solução de uma equação linear a n incógnitas é a seqüência de números reais ou ênupla , que, colocados respectivamente no lugar de , tornam verdadeira a igualdade dada.

4º) Uma solução evidente da equação linear homogênea é a dupla .

Vejamos alguns exemplos:

1º exemplo: Dada a equação linear , encontrar uma de suas soluções.

Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z.

Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).

2º exemplo: Dada a equação , determinar  para que a dupla (-1, ) seja solução da equação.

Resolução:

Resposta:  = – 4

Exercícios Propostos:

1. Determine m para que seja solução da equação .

Resp: -1

2. Dada a equação , ache  para que torne a sentença verdadeira.

Resp: -8/5

2. Sistema linear.

Denomina-se sistema linear de m equações nas n incógnitas todo sistema da forma:

são números reais.

Se o conjunto ordenado de números reais satisfizer a todas as equações do sistema, será denominado solução do sistema linear.

Observações:

1ª) Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, , o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo:

Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0.

Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não-trivial.

2ª) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sistemas equivalentes. Veja o exemplo:

Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S1 e S2 são equivalentes.

Exercícios Propostos:

1. Seja o sistema .

a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.

b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.

Resp: a) é b) não é

2. Seja o sistema: . Calcule k para que o sistema seja homogêneo.

Resp: k = -3

3. Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas: e

Resp: m = 0 e n = 1

3. Expressão matricial de um sistema de equações lineares.

Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um sistema de equações lineares.

Seja o sistema linear:

Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:

. =

matriz constituída matriz coluna matriz coluna

pelos coeficientes constituída pelas dos termos

das incógnitas incógnitas independentes

Observe que se você efetuar a multiplicação das matrizes indicadas irá obter o sistema dado.

Se a matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas for quadrada, o seu determinante é dito determinante do sistema.

Exemplo:

Seja o sistema: .

Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma:

Exercícios Propostos:

1. Expresse matricial mente os sistemas:

a)

b)

2. A expressão matricial de um sistema S é:

. Determine as equações de S.

4. Classificação dos sistemas lineares

Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma:

5. Regra de Cramer

A regra de Cramer consiste num método para se resolver um sistema linear.

Vamos