Pesquisa Sobre o Multiplicados de Lagrange

Pesquisa Sobre Multiplicadores de Lagrange

Cálculo II Turma:
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Fonte: <http://www.andremachado.org/artigos/759/multiplicadores-de-lagrange.html> acesso em 19/11/2014.

Supomos que temos o problema de minimizar ou de maximizar uma função f(x, y, z) – também podendo esta ser uma função de duas variáveis – sujeita a uma restrição g(x, y z) = 0. Para resolvê-lo, nós poderíamos  proceder da maneira tradicional, isto é. resolver a equação de restrição para uma de suas variáveis em termos das outras duas e substituir esse resultado em f. Desta forma, basta utilizar os métodos tradicionais, encontrando os pontos críticos e aplicando o teste da derivada segunda, chegando, assim, ao resultado.

No entanto, essa técnica possui vários inconvenientes, como o fato de devermos ser capazes de resolver a equação g(x) para uma de suas variáveis, o que pode não ser sempre possível – e fácil. Além disso, dependendo das funções em questão, a simples tarefa de substituir a nova equação na primeira certamente demandará em mais cálculos e ajustes que tomarão muito tempo e aumentarão nossas chances de errar.

Felizmente, existem outras formas de se resolver esses problemas e uma delas é através dos multiplicadores de Lagrange.

O Teorema de Lagrange diz que, dada a função objetiva f(x, y, z) sujeita à restrição g(x, y, z) = 0 (ou k, em alguns casos), os pontos de máximo ou de mínimo da função f são as soluções do sistema [pic 1], onde λ é chamado de multiplicador de lagrange.

Em muitos casos, λ possui apenas um papel auxiliar na resolução do problema, como no exemplo que vamos resolver abaixo:

Exemplo: Encontre os valores de máximo e de mínimo de f(x,y) =xy, sujeita à restrição x2 + y2 = 25.

Resolução: Primeiro, vamos calcular os gradientes das funções f e g. Fazendo isso, obtemos que e .

Com isso, chegamos à conclusão de que [pic 2]. Aplicando-se a propriedade distributiva, obtemos que [pic 3].

Perceba que os vetores i e j estão presentes em ambos os lados da igualdade; assim, podemos montar o seguinte sistema linear:

[pic 4]

Perceba que “passamos” o 25 para o outro lado, igualando a função de restrição a 0.

De posse desse sistema, vamos igualar λ: na primeira equação, temos que λ = y/2x e, na segunda, que λ = x/2y. Como λ = λ, sabemos que y/2x = x/2y. Daí, chegamos à conclusão de que y2 = x2.

Com o resultado anterior, podemos reescrever a equação de restrição x2 + y2 = 25 como x2 + x2 = 25. Com isso, obtemos que 2x2 = 25 e, portanto, x = ± 5/√2. Esse também é o valor de y, pois y2 = x2.

Com isso, temos como solução os pares ordenados (5/√2, 5/√2), (5/√2, -5/√2), (-5/√2, 5/√2) e (-5/√2, -5/√2). Agora, para cada um desses pares, vamos substituí-los em f(x, y) e pegar os valores máximos e mínimos.

Ora, temos que f(5/√2, 5/√2) = 25/2, f(5/√2, -5/√2) = -25/2, f(-5/√2, 5/√2) = -25/2 e f(-5/√2, -5/√2) = 25/2. Com isso, temos que o mínimo da função é -25/2 e o máximo é 25/2.