Projeto por Alocação de Polos

UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

CONTROLE I

ALUNO: JOSÉ EWERTON MESQUITA AGUIAR - 2012038078

PROJETO POR ALOCAÇÃO DE POLOS

SÃO LUÍS

2016

ALUNO: JOSÉ EWERTON MESQUITA AGUIAR - 2012038078

PROJETO DE ALOCAÇÃO DE POLOS

Relatório técnico de projeto apresentado como requisito parcial para obtenção de aprovação da disciplina Controle I, no curso de Engenharia Elétrica, na Universidade Federal do Maranhão.

Prof. Dr. João Viana da Fonseca Neto

SÃO LUÍS

2016

Sumário

1        Introdução        

2        Teoria        

2.1        Formas canônicas        

2.2        Controlabilidade        

2.3        Observabilidade        

3        Metodologia        

3.1        Projeto de realimentação de estados        

3.2        Fórmula de Ackermann        

4        Projeto        

4.1        Função de transferência de malha fechada        

4.2        Função de transferência equivalente do controlador        

4.3        Modelo estado malha fechada        

4.4        Correção do erro estacionário        

4.5        Erro estacionário corrigido        

4.6        Recalculando o ganho a partir da função de transferência        

Conclusão        

Bibliografia        

1        Introdução

Nesta abordagem admitimos que os efeitos na reposta dos polos não dominantes de malha fechada são desprezíveis. No projeto de alocação de polos, os polo de malha fechada do sistema poderão ser alocados para qualquer posição desejada por meio de uma realimentação de estado, empregando uma matriz de ganho apropriada. Contudo, essa alocação requer que todas as variáveis de estado possam ser mediadas ou observadas com sucesso. Ainda, o sistema deve ser completamente controlável.

2        Teoria

2.1        Formas canônicas

Considere um sistema dado por,

[pic 1]

sendo u(t) o sinal de entrada e y(t) o sinal de saída. Esta equação pode ser escrita como,

[pic 2]

levando em consideração as duas expressões apresentadas anteriormente seraão apresentadas as formas canônicas controlável, observável e diagonal.

• Forma canônica controlável

[pic 3]

[pic 4]

• Forma canônica observável

[pic 5]

[pic 6]

• Forma canônica diagonal

Considere a seguinte função de transferência,

[pic 7]

a forma canônica para este sistema é dada por,

[pic 8]

[pic 9]

2.2        Controlabilidade

Seja o sistema contínuo no tempo dado por,

[pic 10]

o estado da equação descrita acima é dado como controlável em t = t0 se for possível construir um sinal de controle não-restrito capaz de transferir os sistema do estado inicial para um estado final em um intervalo de tempo finito  t0 < t < tf. Se todos os estados forem controláveis o sistema é dito ser de estados completamente controláveis.

A condição para que o sistema descrito em (1) seja controlável é que a matriz de controlabilidade dada abaixo seja de posto completo.

[pic 11]

Para ser de posto completo, basta matriz ΦCrt possua todas as colunas linearmente independentes.

No Matlab usamos comando ctrb: CO = ctrb(A,B).

2.3        Observabilidade

Considere o sistema contínuo invariante no tempo descrito na forma de espaço de estado dado por,

[pic 12]

o sistema é dito observável se qualquer estado de x(t0) pode ser determinado a partir da observação de y(t) durante um intervalo de tempo finito t0 < t < tf.

As condições para o sistema descrito em (3) ser observável é que a matriz de observabildade descrita abaixo possua posto completo.

[pic 13]

Para ser de posto completo, basta a matriz ΦObs possua todas as colunas linearmente independentes.

No Matlab utilizamos o comando obsv: OB = obsv(A,C).

Caso o sistema seja controlável, podemos alocar os polos de malha fechada em qualquer posição do plano complexo s esquerdo. Neste processo podemos obter um sistema em malha fechada estável e também garantir desempenho transitório e em regime.