RELAÇÕES ENTRE AS EQUAÇÕES DE MAXWELL E O CÁLCULO VETORIAL

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA SUL-RIOGRANDENSE ENGENHARIA QUÍMICA

TAIRIZE FARIAS KROLOW

TRABALHO ESCRITO DESCRITIVO

RELAÇÕES ENTRE AS EQUAÇÕES DE MAXWELL E O CÁLCULO VETORIAL

PELOTAS 2021

Lei de Gauss:

A Lei de Gauss é a primeira das equações de Maxwell e foi proposta inicialmente pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss, esta equação engloba à Lei de Coulomb em condições estáticas.

Conforme a Lei de Gauss, temos que:   Seja 𝐸⃗→  um campo vetorial constante e este campo  𝐸⃗→ forma certo ângulo com uma superfície fechada 𝜎, então utilizamos a definição de projeção de um vetor sob outro:  𝑝𝑟𝑜𝑗𝐸⃗→𝐴  = 𝐸. 𝐴. cos 𝜃 =  𝐸⃗→. 𝐴→ = Φ𝐸 . Neste caso Φ𝐸 (fluxo elétrico), mede a parte do campo 𝐸⃗→  que passa normal a superfície 𝜎, esta relação serve somente para cargas pontuais.

Porém, se quisermos calcular o fluxo elétrico total que passa por qualquer superfície 𝜎 fechada, devemos reescrever da seguinte forma:

∯   𝐸⃗→ . 𝑑𝐴→ = 𝑄𝑖𝑛𝑡𝑒

𝜎        𝜖0

Sendo d𝐴→ o vetor área perpendicular normal de 𝜎 (⃗⃗⃗𝑛⃗→𝑑𝐴 = 𝑑𝐴→) e 𝜃  é o ângulo formado pelos vetores 𝐸⃗→ 𝑒 𝑑𝐴→, lembrando que d𝐴→ é vinculado somente a um ponto da superfície, a integral faz a soma do fluxo para cada ponto o qual o d𝐴→ está vinculado, resultando assim o fluxo elétrico total que passa pela superfície 𝜎. O fluxo elétrico no elemento d𝐴→ é positivo quando o ângulo formado por 𝐸⃗→ 𝑒 𝑑𝐴→ está entre 0 e 90°, o fluxo elétrico no ponto em que d𝐴→ está vinculado é negativo se o ângulo entre 𝐸⃗→ 𝑒 𝑑𝐴→ for maior que 90° e por último, quando o fluxo é 0 quando o ângulo entre os vetores 𝐸⃗→ 𝑒 𝑑𝐴→ é igual a 90°.

Lei de Gauss para o magnetismo:

A Lei de Gauss para o magnetismo é similar a Lei de Gauss para a eletricidade, porém com aplicação a campos magnéticos.

Então, diferente da primeira Lei, esta tem como campo vetorial 𝐵⃗→ que também é constante, mas que agora se refere a um fluxo magnético Φ𝐵, considerando que 𝐵⃗→ forma certo ângulo com a

superfície   fechada   𝜎,   teremos   a   relação:   𝑝𝑟𝑜𝑗𝐵⃗→𝐴  = 𝐵. 𝐴. cos 𝜃 =  𝐵⃗→. 𝐴→ = Φ𝐵,   sendo

---

⃗𝐴⃗⃗→

perpendicular a superfície, porém esta relação é utilizada para somente um ponto. Logo, para calcularmos o fluxo magnético Φ𝐵 total em qualquer superfície 𝜎 fechada, temos que:

∯   𝐵⃗→ . 𝑑𝐴→ = 0

𝜎

Sendo 𝑑𝐴→ um vetor perpendicular a superfície 𝜎 vinculado a um ponto desta superfície. Porém, quando é feita a soma dos fluxos em cada ponto da superfície, o fluxo magnético total é igual a zero. Isso ocorre porque em uma superfície fechada, o número de linhas de campo vetorial entrando e saindo da superfície é o mesmo, ou seja, o fluxo que está entrando na superfície 𝜎 é igual ao fluxo que sai desta.

[pic 1]

Figura 1

Lei de Faraday-Lenz:

Seja um campo vetorial 𝐸⃗→ que forma um certo ângulo com d𝑟→ e o fluxo deste campo passa por um circuito fechado C, para obtermos a porção de campo vetorial 𝐸⃗→ que passa na direção de d𝑟→, temos a  seguinte  relação: 𝑝𝑟𝑜𝑗𝐸⃗→𝑟  = 𝐸. 𝑟. cos 𝜃 =  𝐸⃗→. 𝑟→.  Porém esta  relação  é válida  somente para um ponto, para calcular a soma da projeção de 𝐸⃗→ sobre 𝑟→ em todos os pontos, temos: