Regas De Cramer

Conceito[editar]O sistema linear está ligado de certo modo à álgebra linear e o entendimento mais profundo dos sistemas é dependente do domínio desta matéria4 .

Sendo assim, é importante o entendimento dos espaços vetoriais, dos isomorfismos, das transformações lineares, da interpolação de Lagrange, da decomposição de um polinômio em fatores primos, de anéis comutativos, do teorema da decomposição primária, da forma de Jordan e das formas bilineares.

Um sistema linear, partindo da premissa de que tem resultado existente e determinado e não há dependência entre as equações, deve ter o mesmo número de equações e de incógnitas. O número de variáveis (incógnitas) também é chamado de quantidade de dimensões do problema. O número de dimensões está relacionado ao espaço vetorial. Por outro lado, os números que são subsumidos às incógnitas das equações podem ser de vários universos. Em geral, se resolvem sistemas para números reais, mas também existem sistemas para números complexos e ainda para outros tipos de números. Assim, para n dimensões no conjunto dos números reais, diz-se que se trabalha no conjunto ℝn.

Para que o resultado de um sistema seja existente e determinado, não pode haver redundância, o que é chamado também dependência entre as matrizes que representam as equações.

Histórico[editar]A história dos sistemas de equações lineares começa no oriente. Em 1683, num trabalho do japonês Seki Kowa, surge a ideia de determinante5 (como polinômio que se associa a um quadrado de números).

O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares.

A conhecida regra de Cramer é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu Treatise of algebra.

O suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra independentemente.

O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, tratou do assunto, sendo complementado posteriormente por Laplace, em Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo.

O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, sugeriu a notação que hoje é aceita como convenção.

Já o alemão Jacobi fez a leitura dessa teoria da forma como atualmente se estuda.

Técnicas de resolução[editar]Existem vários métodos equivalentes de resolução de sistemas.

Método da substituição[editar]O método da substituição consiste em isolar uma incógnita em qualquer uma das equações, obtendo igualdade com um polinômio. Então deve-se substituir essa mesma incógnita em outra das equações pelo polinômio ao qual ela foi igualada.

Método da comparação[editar]Consiste em compararmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações. e as equações ficam mais detalhadas.

Fatorizações de matrizes[editar]Os métodos mais utilizados computacionalmente para resolver sistemas lineares envolvem fatorizações de matrizes. O mais conhecido, a eliminação de Gauss, origina a fatoração LU. Resolver o sistema Ax=b é equivalente a resolver os sistemas mais simples Ly=b e Ux=6.

Regra de Cramer[editar]A Regra de Cramer é uma fórmula explícita para a solução de um sistema de equações lineares, com cada variável dada por um quociente de dois determinantes. Por exemplo, a solução para o sistema

é dada pela

Para cada variável, o denominador é a determinante da matriz de coeficientes, enquanto o numerador é o determinante de uma matriz na qual cada coluna foi substituída pelo vetor de termos constantes.

Embora a regra de Cramer é importante teoricamente, tem pouco valor prático para grandes matrizes, uma vez que o cálculo de grandes determinantes é um pouco complicado. (Na verdade, grandes determinantes são mais facilmente calculados usando a Eliminação de Gauss.)

Além disso, a regra de Cramer tem pobres propriedades numéricas, tornando-a inadequada para resolver até mesmo pequenos sistemas de forma confiável, a menos que as operações forem executadas em aritmética racional com precisão ilimitada.

Sistemas Lineares[editar]As equações do oscilador linear são um exemplo de um sistema dinâmico linear. Um sistema linear de segunda ordem, é um sistema com duas variáveis de estado, e com derivadas que são combinações lineares dessas duas variáveis6

onde e são constantes

Uma forma mais geral de um sistema linear, com variáveis e é:

mas com a substituição de variáveis o sistema reduz-se ao sistema se as variáveis e

forem solução das equações:

O sistema pode ser escrito como uma única equação matricial:

onde representa as coordenadas de um vetor no plano escritas em forma de coluna:

e é a matriz do sistema

Num instante qualquer, o estado do sistema é representado por um vetor que define a posição de um ponto no espaço de fase. Nesse instante o produto é outro vetor (representado como matriz com uma coluna e duas linhas) que define a velocidade de fase nesse ponto.

Pontos fixos[editar]Os pontos fixos do sistema linear são os pontos onde todas as derivadas são nulas. Assim, os pontos fixos serão as soluções do sistema de equações lineares homogêneas 6

aplicando a regra de Cramer, concluímos que se o determinante da matriz for diferente de zero, existirá um único ponto fixo, na origem.

Se o determinante da matriz for nulo, dizemos que a matriz é singular, e nesse caso existirão infinitos pontos fixos, todos sobre uma reta que passa pela origem. 6

Vetores e valores próprios[editar]Um vetor próprio da matriz é um vetor (matriz com uma coluna e duas linhas), diferente