Relatorio Calculo Numerico

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\title{Cálculo Numérico -- Projeto 1}

\date{MS211-H -- 1S/2016}

\author{

Eduardo Guimarães -- RA 166754 \\

Júlio Vanzella Pasinatto -- RA 171329 \\

}

\begin{document}

\maketitle

\section{Introdução}

Neste projeto devemos estudar a função

$$

f(x) = e^{0.15x} - (1+A/2) x^2 + x - (B+1),

$$

onde $A = 5$ e $B=4$.

\section{Resultados}

\subsection{Problema 1}

De acordo com a figura 1 plotado, observa-se que a função intercepta o eixo X em três momentos distintos, portanto, possui três raízes. Deve-se atentar ao fato que se fosse limitado o intervalo de X tal que $X=[-20,20]$ (figura 2), teria-se uma parábola com com concavidade para baixo. Porém, ao apliar esse intervalo para $X=[-120,120]$, é notório que a função assume características totalmente distintas.

Como raízes da função, temos:

\begin{enumerate}

$$X=-1.15683$$

$$X=1.48676$$

$$X=63.7108$$

\end{enumerate}

\subsection{Problema 2}

Ainda de acordo com a figura 1 e 2, tem-se que ao limitarmos X tal que $X=[50,80]$, a função terá apenas uma raíz. No caso, seria $$X=63.7108$$

\subsection{Problema 3}

Um intervalo apropriado para tal algoritmo poderia ser entre $[50,80]$ para que se achasse o "maior 0" da função. De acordo com o Método da Bissecção e os intervalos escolhidos, assim como uma aproximação de $\delta=0.01$ seriam necessárias 12 iterações.

\subsection{Problema 4}

De acordo com a rotina implementada, faz-se necessário ao menos quatro parâmetros para seu funcionamento: a função, a qual é o objeto de estudo, dois valores iniciais e o erro máximo tolerado.

\subsection{Problema 5}

Tem-se que o algoritmo implementado tem convergência supra-linear, e não quadrática como o método de Newton. De fato, a taxa de convergência é $\phi\approx1.61$, resultado próximo ao obtido pelo código.

\subsection{Problema 6}

O código do Método de Newton para Matlab pode ser encontrado na seção de listagem dos programas. A rotina foi criada de modo que se houvesse uma derivada pequena em alguma iteração e caso essa divergência estourasse um 'teto' previamente definido, o algoritmo cessaria.

\subsection{Problema 7}

O ponto utilizado foi $X=-1.2$ e a iteração No 64 foi a aproximação mais próxima do menor X da função. A convergência quadrática é maior quando $Xn-a<1$. Esta foi ressaltada, principalmente,a partir da iteração 18.

\begin{center}

\begin{tabular}{c|cr}

\hline

$X$ & $Iteração$ \\

\hline

$-1.3209$ & $18$ \\

$-0.2015$ & $19$ \\

\hline

\hline

\end{tabular}

\end{center}

\subsection{Problema 8}

Ao fazer uso de tais pontos, pode-se notar:

-fazendo-se uso de 0.5, a convergência foi alcançada na iteração 309

-fazendo-se uso de 0.6, a convergência foi alcançada na iteração 310

-fazendo-se uso de 0.7, a convergência foi alcançada na iteração 201

Conclui-se que qualquer variação no ponto inicial do método pode acarretar grandes diferenças no quesito de processamento, portanto, é interessante que se fique atento a tal ponto.

\section{Listagem dos programas}

\subsection{Código do Método da Bissecção}

\begin{verbatim}

function c=bissecção(a,b);