Resolução Calculo 2 Anton B Davis seção 9.7 exercício 43,45
Por: aviaodepapel • 24/11/2021 • Trabalho acadêmico • 420 Palavras (2 Páginas) • 82 Visualizações
Use o Teorema da Estimativa do Resto para encontrar um intervalo contendo x = 0 no qual f (x) possa ser aproximada por p(x) com precisão de três casas decimais em cada ponto do intervalo. [NÃO PEDIDO] Confira sua resposta traçando o gráfico de |f (x) − p(x)| sobre o intervalo encontrado.
43. [pic 1][pic 2]
RESOLUÇÃO: Sabemos que pela estimativa do resto para n ordem do polinômio de Taylor é,
[pic 3]
Para qualquer que seja x no intervalo. Em posse de , vamos determinar qual o valor de n para a melhor aproximação. Seguimos com a de até encontrar a que melhor se adeque ao dado. Note que , para este caso.[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]
;[pic 9][pic 8]
;[pic 11][pic 10]
;[pic 13][pic 14][pic 15][pic 12]
; [pic 16]
; [pic 18][pic 19][pic 20][pic 17]
A derivada , implicando que o proximo termo do polinomio será diferente de zero, portanto diferente da , dada pelo enunciado. Como , para maior precisão, adotamos n=4, assim a estimativa do resto será:[pic 21][pic 22][pic 23]
[pic 24]
O valor de é o maior valor para , o maior valor possível para , logo , dessa forma temos a estimativa do resto para 3 casas decimais,[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]
.[pic 29]
45. [pic 30][pic 31]
Sabemos que pela estimativa do resto para n ordem do polinômio de Taylor é,
[pic 32]
Para qualquer que seja x no intervalo. Em posse de , vamos determinar qual o valor de n para a melhor aproximação. Seguimos com o calculo das derivadas da para encontrar a ordem de que melhor se adeque ao dado. Note que , para este caso.[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]
e ;[pic 38][pic 39]
Para a primeira derivada vamos usar a regra da cadeia,
e ;[pic 40][pic 41]
Para a segunda derivada, vamos utilizar a regra do Quociente,
[pic 42]
e [pic 43]
Derivando a terceira,
[pic 44]
[pic 45]
E [pic 46]
Derivando a quarta,
[pic 47]
[pic 48]
E [pic 49]
Derivando a quinta,
[pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
E [pic 53]
Assim podemos encontrar as ordens dos polinômios,
;[pic 54]
;[pic 55]
;[pic 56]
;[pic 57]
;[pic 58]
[pic 59]
Como , para maior precisão, adotamos n=5, assim a estimativa do resto será:[pic 60]
[pic 61]
Para encontrar o valor de M temos que para este caso , para c entre 0 e , ou seja, no intervalo de . Vamos calcular a derivada a sexta da f(x)[pic 62][pic 63][pic 64]
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