Resolução Calculo 2 Anton B Davis seção 9.7 exercício 43,45

Use o Teorema da Estimativa do Resto para encontrar um intervalo contendo x = 0 no qual f (x) possa ser aproximada por p(x) com precisão de três casas decimais em cada ponto do intervalo. [NÃO PEDIDO] Confira sua resposta traçando o gráfico de |f (x) − p(x)| sobre o intervalo encontrado.

43.  [pic 1][pic 2]

RESOLUÇÃO: Sabemos que pela estimativa do resto para n ordem do polinômio de Taylor é,

[pic 3]

Para qualquer que seja x no intervalo. Em posse de , vamos determinar qual o valor de n para a melhor aproximação. Seguimos com a de  até encontrar a que melhor se adeque ao  dado. Note que , para este caso.[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

;[pic 9][pic 8]

;[pic 11][pic 10]

;[pic 13][pic 14][pic 15][pic 12]

; [pic 16]

; [pic 18][pic 19][pic 20][pic 17]

A derivada , implicando que o proximo termo do polinomio será diferente de zero, portanto diferente da , dada pelo enunciado. Como , para maior precisão, adotamos  n=4, assim a estimativa do resto será:[pic 21][pic 22][pic 23]

[pic 24]

O valor de  é o maior valor para , o maior valor possível para , logo , dessa forma temos a estimativa do resto para 3 casas decimais,[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

.[pic 29]

45.  [pic 30][pic 31]

Sabemos que pela estimativa do resto para n ordem do polinômio de Taylor é,

[pic 32]

Para qualquer que seja x no intervalo. Em posse de , vamos determinar qual o valor de n para a melhor aproximação. Seguimos com o calculo das derivadas da  para encontrar a ordem de  que melhor se adeque ao  dado. Note que , para este caso.[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

 e ;[pic 38][pic 39]

Para a primeira derivada vamos usar a regra da cadeia,

 e ;[pic 40][pic 41]

Para a segunda derivada, vamos utilizar a regra do Quociente,

[pic 42]

e [pic 43]

Derivando a terceira,

[pic 44]

[pic 45]

E [pic 46]

Derivando a quarta,

[pic 47]

[pic 48]

E [pic 49]

Derivando a quinta,

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

E [pic 53]

Assim podemos encontrar as ordens dos polinômios,

;[pic 54]

;[pic 55]

;[pic 56]

;[pic 57]

;[pic 58]

[pic 59]

Como , para maior precisão, adotamos  n=5, assim a estimativa do resto será:[pic 60]

[pic 61]

Para encontrar o valor de M temos que para este caso , para c entre 0 e , ou seja, no intervalo de . Vamos calcular a derivada a sexta da f(x)[pic 62][pic 63][pic 64]

...