SERIE DE FOURRIER

Universidade Estácio - Iesam

Curso Engenharia Ambiental

Prof. Francisco Júnior

Disciplina Cálculo III

A Transformada de Laplace

1 - Integrais Impróprias

        Seja [pic 1] uma função definida no intervalo [pic 2]. Então a integral imprópria [pic 3] é definida por

[pic 4],

se o limite existir. Quando o limite existe diz-se que a integral converge; caso contrário, diz-se que ela diverge.

2 – Definição da Transformada de Laplace

        Seja [pic 5] uma função de [pic 6] definida para [pic 7]. Então, a transformada de Laplace de [pic 8], denotada por L [pic 9], é definida por

L[pic 10]

onde [pic 11] é um parâmetro real.

3 - A Transformada de Laplace de Algumas Funções Elementares

        A tabela abaixo mostra a transformada de Laplace de várias funções elementares.

	[pic 12]	L  [pic 13]
1	1	[pic 14]
2	[pic 15]	[pic 16]
3	[pic 17] [pic 18]	[pic 19]
4	[pic 20]	[pic 21]
5	[pic 22]	[pic 23]
6	[pic 24]	[pic 25]
7	[pic 26]	[pic 27]
8	[pic 28]	[pic 29]
9	[pic 30]	[pic 31]
10	[pic 32]	[pic 33]
11	[pic 34]	[pic 35]

4 – Funções Seccionalmente Contínuas

        Uma função é chamada de seccionalmente contínua ou contínua por partes num intervalo [pic 36] se o intervalo pode ser subdividido num número finito de intervalos em cada um dos quais a função é contínua e tem limites laterais, à direita e à esquerda, finitos.

[pic 37]

[pic 38]

5 – Funções de Ordem Exponencial

        Uma função se diz de ordem exponencial [pic 39] se existem constantes [pic 40] tais que [pic 41] ou [pic 42] para todo [pic 43].

Exemplo: [pic 44] é uma função exponencial de ordem 3, pois [pic 45].

Teorema 1

        Se [pic 46] é uma função seccionalmente contínua em todo intervalo finito [pic 47], com [pic 48],  e se [pic 49] é uma função de ordem exponencial [pic 50], então sua transformada de Laplace [pic 51] existe para todo [pic 52].

Prova:  Temos, para qualquer inteiro positivo [pic 53],

[pic 54].

Como [pic 55] é uma função seccionalmente contínua em todo intervalo finito [pic 56], a primeira integral à direita existe. Também a segunda integral à direita existe,  pois [pic 57] é uma função de ordem exponencial [pic 58] pata todo [pic 59]. Para verificar isso, observe que

[pic 60]

Assim, a transformada de Laplace existe para [pic 61].

        Observe que as condições enunciadas são suficientes para garantir a existência da transformada de Laplace. Porém, se as condições não são satisfeitas nada pode ser afirmado, ou seja, a transformada de Laplace pode existir ou não. Assim, as condições não são necessárias para garantir a existência da transformada de Laplace.

6 – Algumas Propriedades da Transformada de Laplace

6.1 – Propriedade de Linearidade

        Se [pic 62] são constantes quaisquer, enquanto que [pic 63] são funções com transformadas de Laplace [pic 64], respectivamente, então

L[pic 65] L[pic 66] L[pic 67]

                                                               = [pic 68].

Prova: Temos

L[pic 69] L[pic 70]

e  

L[pic 71] L[pic 72].

Assim,

L[pic 73]

                                                               = [pic 74]

                                                               = [pic 75].

Exemplo: L[pic 76]

                                = [pic 77][pic 78]

6.2 – Transformada de Laplace de Derivadas

Teorema 1: Se  L[pic 79], então L[pic 80], se [pic 81] é contínua para [pic 82] e de ordem exponencial para [pic 83], enquanto [pic 84] é seccionalmente contínua em [pic 85].

Prova: Aplicando integração por partes, tem

L[pic 86]

                                                    =[pic 87]

                                                    =[pic 88]

                                                    =[pic 89]