Series

SÉRIES

(1/N) = Série Harmônica →Diverge

(rn) = Série Geométrica →Converge = |r|<1 com soma S=1/1-r

→Diverge = |r|≥1

(1/n(n+1) = Série telescópica →Converge com soma =1

Teoremas:

Teorema 1- Séries Geométricas→Converge = |r|<1 com soma S=1/1-r

→Diverge = |r|≥1

Teorema 2 - Série infina é convergente, logo, Lim an = 0

n→+∞

Teorema 3 - ∑an + ∑bn Converge com soma a+b

∑Kan Converge com soma K.a ou seja (∑Kan=K∑an=K.a

∑an - ∑bn Converge com soma a-b

Se a ∑an Diverge, então ∑Ka também diverge com K≠0

Teorema 4 – Se ∑an Converge e bn diverge ∑(an+bn) Diverge

Se ∑an e ∑bn divergem, então a∑(an+bn) pode ou não convergirem

Teorema 5 – Se a ∑an é absolutamente convergente, então ∑an é convergente

, Se o Lim an ≠0 ∑an Diverge

n→+∞

Teorema 6 – A Série ∑+∞ 1/np →Converge p>1 com soma S=1/p-1

n=1 →Diverge se p≤1

Teste da Razão D’Alembert

Lim an |an+1/an| = 1 Então:

n→+∞

Se L<1 a Série ∑an Converge absolutamente

Se L>1 a Série ∑an Diverge

Se L = 1 nada se pode afirmar

Teste da razão de Cuchy (teste da Raiz)

Seja ∑an, an>0, ṾnЄ IN

Lim n√|an|=L

n→+∞

Se L<1 a Série ∑an Converge absolutamente

Se L>1 a Série ∑an Diverge

Se L = 1 nada se pode afirmar

Teste da Comparação

Sejam as Séries ∑an e ∑bn, tais que:

0≤an≤bn, ṾnЄ IN

Se ∑bn Converge , então ∑an também Converge

Se ∑an Diverge, então ∑bn também Diverge